Distribuzioni continue

Quando la variabile casuale può assumere tutti i valori di un intervallo, la probabilità non si concentra più su singoli punti ma si spalma con continuità: la descrive una funzione densità $f(x)$, e le probabilità diventano aree (integrali). I due modelli continui fondamentali sono la gaussiana (la campana di Gauss, onnipresente in statistica) e l’esponenziale (i tempi di attesa fra eventi), quest’ultima strettamente legata al decadimento radioattivo.

• Variabili continue e densità di probabilità
• Distribuzione gaussiana (normale)
• La regola del 68-95-99,7
• Distribuzione esponenziale

When the random variable can take all the values of an interval, probability no longer concentrates on single points but spreads out with continuity: it is described by a density function $f(x)$, and probabilities become areas (integrals). The two fundamental continuous models are the Gaussian (the Gaussian bell, ubiquitous in statistics) and the exponential (the waiting times between events), the latter closely tied to radioactive decay.

• Continuous variables and probability density
• Gaussian (normal) distribution
• The 68-95-99.7 rule
• Exponential distribution

Quando i valori possibili formano un intervallo continuo, non ha più senso assegnare una probabilità a ogni singolo valore: la probabilità si descrive con una funzione densità, e diventa un’area.

Definizione — Funzione densità di probabilità

Una v.c. continua $X$ è descritta da una funzione densità di probabilità $f(x)\ge 0$ con $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx = 1$. La probabilità che $X$ cada in un intervallo è $P(a\le X\le b) = \int_a^b f(x)\,dx.$

Osservazione

Per una variabile continua, $P(X=x_0) = 0$ per ogni valore singolo $x_0$ (l’integrale su un punto è zero). Ha senso solo chiedere la probabilità di un intervallo.

L’area totale sotto la curva vale sempre $1$: è l’analogo continuo della condizione $\sum p_i = 1$ delle distribuzioni discrete.

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Competenze: Interpretare grafico

When the possible values form a continuous interval, it no longer makes sense to assign a probability to each single value: probability is described by a density function, and it becomes an area.

Definition — Probability density function

A continuous r.v. $X$ is described by a probability density function $f(x)\ge 0$ with $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx = 1$. The probability that $X$ falls in an interval is $P(a\le X\le b) = \int_a^b f(x)\,dx.$

Remark

For a continuous variable, $P(X=x_0) = 0$ for every single value $x_0$ (the integral over a point is zero). It only makes sense to ask for the probability of an interval.

The total area under the curve is always $1$: it is the continuous analogue of the condition $\sum p_i = 1$ of discrete distributions.

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La distribuzione normale è il modello continuo più importante della statistica: descrive misure soggette a molti piccoli errori casuali e la sua curva è la celebre “campana di Gauss”.

Proprietà — $X\sim N(\mu,\sigma^2)$

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}.$ La curva è la famosa “campana di Gauss”: simmetrica rispetto a $\mu$, con larghezza proporzionale a $\sigma$.

Storia — La "campana" prima di Gauss

La curva a campana comparve per la prima volta nel 1733, quando Abraham de Moivre la ricavò come approssimazione della distribuzione binomiale per un gran numero di prove, cercando di stimare le probabilità nel gioco d’azzardo (Boyer). Fu poi Pierre-Simon Laplace a inserirla al centro della teoria degli errori e a intravedere il teorema del limite centrale, mentre Carl Friedrich Gauss la impiegò nel 1809 per giustificare il metodo dei minimi quadrati nell’analisi delle osservazioni astronomiche (Stigler). Il nome “gaussiana” è così, in parte, un tributo storico un po’ ingeneroso verso de Moivre e Laplace.

Tre gaussiane. La blu è la normale standard $N(0,1)$. La rossa ha media $\mu=1$ e $\sigma$ piccolo (stretta e alta). La verde ha media $\mu=-1$ e $\sigma$ grande (larga e bassa). L’area sotto ogni curva è sempre $1$.

Esplora la campana di Gauss nella simulazione: sposta $\mu$ per traslare la curva e $\sigma$ per allargarla o restringerla.

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Persone: Abraham de Moivre · Carl Friedrich Gauss · Pierre-Simon Laplace

The normal distribution is the most important continuous model in statistics: it describes measurements subject to many small random errors and its curve is the celebrated “Gaussian bell”.

Property — $X\sim N(\mu,\sigma^2)$

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}.$ The curve is the famous “Gaussian bell”: symmetric about $\mu$, with width proportional to $\sigma$.

History — The "bell" before Gauss

The bell-shaped curve first appeared in 1733, when Abraham de Moivre derived it as an approximation of the binomial distribution for a large number of trials, while trying to estimate probabilities in games of chance (Boyer). It was then Pierre-Simon Laplace who placed it at the heart of the theory of errors and glimpsed the central limit theorem, while Carl Friedrich Gauss used it in 1809 to justify the method of least squares in the analysis of astronomical observations (Stigler). The name “Gaussian” is therefore, in part, a historically somewhat unfair tribute to de Moivre and Laplace.

Three Gaussians. The blue one is the standard normal $N(0,1)$. The red one has mean $\mu=1$ and small $\sigma$ (narrow and tall). The green one has mean $\mu=-1$ and large $\sigma$ (wide and low). The area under each curve is always $1$.

Explore the Gaussian bell in the simulation: move $\mu$ to shift the curve and $\sigma$ to widen or narrow it.

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Per una gaussiana esiste una regola pratica che permette di stimare a mente le probabilità degli intervalli centrati sulla media, senza ricorrere alle tabelle.

Proprietà — Regola del $68$–$95$–$99{,}7$

Per una variabile gaussiana:

• $P(\mu-\sigma \le X \le \mu+\sigma) \approx 68\%$
• $P(\mu-2\sigma \le X \le \mu+2\sigma) \approx 95\%$
• $P(\mu-3\sigma \le X \le \mu+3\sigma) \approx 99{,}7\%$

In parole: circa due terzi dei dati cadono entro una deviazione standard dalla media, il $95\%$ entro due, e praticamente tutti (il $99{,}7\%$) entro tre. È il criterio con cui in laboratorio si giudica se una misura è “compatibile” con un valore atteso.

Nella simulazione seguente trascina il cursore $k$ e osserva come l’area sotto la gaussiana tra $-k\sigma$ e $+k\sigma$ riproduce le percentuali della regola.

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For a Gaussian there is a practical rule that lets you estimate in your head the probabilities of intervals centred on the mean, without resorting to tables.

Property — The $68$–$95$–$99{,}7$ rule

For a Gaussian variable:

• $P(\mu-\sigma \le X \le \mu+\sigma) \approx 68\%$
• $P(\mu-2\sigma \le X \le \mu+2\sigma) \approx 95\%$
• $P(\mu-3\sigma \le X \le \mu+3\sigma) \approx 99{,}7\%$

In words: about two thirds of the data fall within one standard deviation of the mean, $95\%$ within two, and practically all (the $99{,}7\%$) within three. It is the criterion by which, in the laboratory, one judges whether a measurement is “compatible” with an expected value.

In the simulation below drag the slider $k$ and watch how the area under the Gaussian between $-k\sigma$ and $+k\sigma$ reproduces the rule’s percentages.

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L’esponenziale è il modello dei tempi di attesa: quanto passa prima del prossimo decadimento, del prossimo arrivo, del prossimo guasto. È strettamente legata alla distribuzione di Poisson (che conta gli eventi) e al decadimento radioattivo.

Proprietà — $X\sim\text{Exp}(\lambda)$

Modella i tempi di attesa tra eventi (decadimenti, arrivi, guasti). $f(x) = \lambda\,e^{-\lambda x} \text{ per } x\ge 0, \qquad f(x)=0 \text{ per } x<0.$ Media $1/\lambda$, varianza $1/\lambda^2$. La funzione di ripartizione è $F(x) = 1-e^{-\lambda x}$.

Osservazione — Collegamento con le ODE

La distribuzione esponenziale è la stessa funzione che compare nella soluzione dell’ODE $y'=-\lambda y$: il decadimento radioattivo. Non è un caso: la probabilità di sopravvivenza $P(X>t) = e^{-\lambda t}$ soddisfa esattamente quell’equazione differenziale.

Distribuzione esponenziale per tre valori di $\lambda$: $\lambda$ grande significa attese brevi (curva che decade in fretta, partendo alta), $\lambda$ piccolo attese lunghe.

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The exponential is the model of waiting times: how long passes before the next decay, the next arrival, the next failure. It is closely tied to the Poisson distribution (which counts the events) and to radioactive decay.

Property — $X\sim\text{Exp}(\lambda)$

Models the waiting times between events (decays, arrivals, failures). $f(x) = \lambda\,e^{-\lambda x} \text{ for } x\ge 0, \qquad f(x)=0 \text{ for } x<0.$ Mean $1/\lambda$, variance $1/\lambda^2$. The cumulative distribution function is $F(x) = 1-e^{-\lambda x}$.

Remark — Connection with ODEs

The exponential distribution is the same function that appears in the solution of the ODE $y'=-\lambda y$: radioactive decay. This is no coincidence: the survival probability $P(X>t) = e^{-\lambda t}$ satisfies exactly that differential equation.

Exponential distribution for three values of $\lambda$: large $\lambda$ means short waits (a curve that decays quickly, starting high), small $\lambda$ long waits.

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Nata come strumento per trattare gli errori di misura in astronomia, nell’Ottocento la curva normale invase le scienze umane e biologiche. A questa trasformazione sono legati due nomi: il belga Adolphe Quetelet e l’inglese Francis Galton.

Quetelet e “l’uomo medio”

Attorno al 1835 Adolphe Quetelet ebbe un’idea audace: applicare i metodi della statistica astronomica all’essere umano. Raccogliendo dati su statura, peso e altre misure di grandi popolazioni, osservò che questi si distribuivano proprio secondo la campana di Gauss. Ne trasse il concetto di homme moyen, “l’uomo medio”: un individuo fittizio le cui caratteristiche coincidono con la media $\mu$ della popolazione, attorno a cui i singoli si disperdono con una certa deviazione standard $\sigma$ (Stigler). Fu Quetelet a introdurre anche l’indice di massa corporea (il rapporto $\text{peso}/\text{statura}^2$), ancora oggi noto come indice di Quetelet.

Galton e la regressione

Alla fine del secolo Francis Galton, cugino di Charles Darwin, studiò l’ereditarietà misurando la statura di genitori e figli. Notò un fenomeno curioso: i figli di genitori molto alti tendevano in media a essere più bassi dei genitori, e i figli di genitori molto bassi più alti — un ritorno verso la media della popolazione. Chiamò questo effetto regression toward the mean (regressione verso la media), termine che è all’origine dell’odierna analisi di regressione (Stigler; Boyer). Per visualizzare come tante piccole cause casuali generino la campana, Galton costruì la quincunx (o “tavola di Galton”): una tavola inclinata su cui palline, rimbalzando su file di chiodi, si accumulano in basso disegnando spontaneamente una distribuzione normale.

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Persone: Adolphe Quetelet · Francis Galton

Born as a tool for handling measurement errors in astronomy, in the nineteenth century the normal curve invaded the human and biological sciences. Two names are tied to this transformation: the Belgian Adolphe Quetelet and the Englishman Francis Galton.

Quetelet and the “average man”

Around 1835 Adolphe Quetelet had a bold idea: to apply the methods of astronomical statistics to human beings. Collecting data on height, weight and other measurements of large populations, he observed that these were distributed exactly according to the Gaussian bell. From this he drew the concept of the homme moyen, the “average man”: a fictitious individual whose characteristics coincide with the mean $\mu$ of the population, around which individuals scatter with a certain standard deviation $\sigma$ (Stigler). It was also Quetelet who introduced the body mass index (the ratio $\text{weight}/\text{height}^2$), still known today as the Quetelet index.

Galton and regression

At the end of the century Francis Galton, a cousin of Charles Darwin, studied heredity by measuring the height of parents and children. He noticed a curious phenomenon: the children of very tall parents tended on average to be shorter than their parents, and the children of very short parents taller — a return toward the population mean. He called this effect regression toward the mean, a term that is at the origin of today’s regression analysis (Stigler; Boyer). To visualise how many small random causes generate the bell, Galton built the quincunx (or “Galton board”): a tilted board on which balls, bouncing off rows of pins, pile up at the bottom, spontaneously tracing out a normal distribution.

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