Massa-molla con attrito

Esempio 2 — Massa-molla con attrito (smorzato)

Aggiungiamo una forza di attrito viscoso $-\gamma m\dot x$ proporzionale alla velocità: $\ddot x + 2\gamma\dot x + \omega_0^2 x = 0.$ Equazione caratteristica $\lambda^2 + 2\gamma\lambda + \omega_0^2 = 0$, con $\Delta = 4\gamma^2 - 4\omega_0^2$. Si hanno tre regimi:

• sottosmorzato ($\gamma<\omega_0$, $\Delta<0$): $\lambda = -\gamma\pm i\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}$, oscillazione che si attenua esponenzialmente, $x(t) = e^{-\gamma t}\bigl[A\cos\omega' t + B\sin\omega' t\bigr]$ con $\omega' = \sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}$;
• criticamente smorzato ($\gamma = \omega_0$, $\Delta=0$): $x(t) = (A+Bt)e^{-\gamma t}$. È il regime ottimale — nessuna oscillazione, ritorno all’equilibrio nel minimo tempo — ideale per gli ammortizzatori auto;
• sovrasmorzato ($\gamma>\omega_0$, $\Delta>0$): $\lambda$ reali negative, decadimento esponenziale puro e lento.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni differenziali
Concetti: Edo lineare secondo ordine · Equazione caratteristica · Oscillatore armonico · Smorzamento
Metodi: Oscillatore armonico edo
Competenze: Modellizzare · Ragionare per casi · Risolvere equazioni