Crescita esponenziale

Esempio — Crescita esponenziale: $y'=ky$

La più semplice ODE: $\dfrac{dy}{dx} = ky$. Separiamo: $\dfrac{dy}{y} = k\,dx$. Integriamo: $\ln|y| = kx + C$, da cui $y = Ae^{kx}$ con $A = e^C$.

Con condizione iniziale $y(0) = y_0$ si ha $A = y_0$, quindi: $\boxed{y(x) = y_0\,e^{kx}}$

Il segno di $k$ decide il comportamento:

• se $k>0$: crescita esponenziale (popolazione, interesse composto);
• se $k<0$: decadimento esponenziale (radioattività).

Collegamenti

Argomenti: Equazioni differenziali
Concetti: Condizione iniziale · Crescita esponenziale · Decadimento · Variabili separabili
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Integrare · Risolvere equazioni