Teoremi del calcolo

Dopo aver imparato a calcolare le derivate, è il momento di usarle per capire le funzioni: dove crescono, dove decrescono, dove hanno massimi o minimi, dove cambiano concavità. La derivata diventa uno strumento d’indagine potentissimo, e i teoremi di questo capitolo trasformano informazioni sulla derivata in informazioni sulla funzione. Partiamo dal teorema di Rolle e dal teorema di Lagrange (o del valore medio), passiamo alla regola di De L’Hôpital per il calcolo dei limiti nelle forme indeterminate, e concludiamo con i due pilastri del calcolo integrale: il teorema della media integrale e il teorema fondamentale del calcolo integrale, che lega derivazione e integrazione in un’unica catena logica.

Sezioni

• Teorema di Rolle
• Teorema di Lagrange (o del valore medio)
• La regola di De L’Hôpital
• Teorema della media integrale
• Teorema fondamentale del calcolo integrale

Approfondimenti

• La catena dei teoremi

Having learnt to compute derivatives, it is time to use them to understand functions: where they increase, where they decrease, where they have maxima or minima, where they change concavity. The derivative becomes a most powerful investigative tool, and the theorems of this chapter turn information about the derivative into information about the function. We start from Rolle’s theorem and Lagrange’s theorem (or the mean value theorem), move on to L’Hôpital’s rule for computing limits in indeterminate forms, and conclude with the two pillars of integral calculus: the integral mean value theorem and the fundamental theorem of integral calculus, which ties differentiation and integration together in a single logical chain.

Sections

• Rolle’s theorem
• Lagrange’s theorem (or the mean value theorem)
• L’Hôpital’s rule
• Integral mean value theorem
• Fundamental theorem of integral calculus

Further study

• The chain of theorems

La regola di De L’Hôpital permette di calcolare i limiti che si presentano nelle forme indeterminate $\frac{0}{0}$ e $\frac{\infty}{\infty}$ passando al rapporto delle derivate.

Teorema — De L'Hôpital

Se $\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ è nella forma $\dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$, e se $\lim_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ esiste (finito o infinito), allora: $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$

Attenzione

De L’Hôpital si applica SOLO quando il rapporto è in una forma indeterminata $0/0$ o $\infty/\infty$. Se il limite è in una forma determinata, non usare De L’Hôpital: si ottiene un risultato sbagliato. Inoltre, se il limite delle derivate non esiste, il teorema non dà informazioni (ma il limite originale potrebbe comunque esistere).

Esempio

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}$. Forma $\frac{0}{0}$. Applichiamo: $\dfrac{(e^x)'}{(x)'} = \dfrac{e^x}{1} \to \dfrac{e^0}{1} = 1$.

Esempio — De L'Hôpital applicato due volte

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$. Forma $\frac{0}{0}$. Prima applicazione: $\dfrac{e^x-1}{2x}$. Ancora $\frac{0}{0}$. Seconda applicazione: $\dfrac{e^x}{2}\to\dfrac{1}{2}$.

Osservazione

De L’Hôpital è molto potente ma non è l’unico metodo: le funzioni equivalenti (viste nel capitolo sui limiti) spesso sono più veloci. Conviene usare De L’Hôpital come “arma di riserva” quando le funzioni equivalenti non bastano.

Collegamenti

Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Derivata · Forma indeterminata · Teorema di de l hopital
Metodi: Limiti lhopital
Competenze: Calcolare limiti
Persone: Guillaume de l’Hôpital

L’Hôpital’s rule allows us to compute limits that arise in the indeterminate forms $\frac{0}{0}$ and $\frac{\infty}{\infty}$ by passing to the ratio of the derivatives.

Theorem — L'Hôpital

If $\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ is of the form $\dfrac{0}{0}$ or $\dfrac{\infty}{\infty}$, and if $\lim_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ exists (finite or infinite), then: $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$

Caution

L’Hôpital applies ONLY when the ratio is in an indeterminate form $0/0$ or $\infty/\infty$. If the limit is in a determinate form, do not use L’Hôpital: you get a wrong result. Moreover, if the limit of the derivatives does not exist, the theorem gives no information (but the original limit might still exist).

Example

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}$. Form $\frac{0}{0}$. We apply it: $\dfrac{(e^x)'}{(x)'} = \dfrac{e^x}{1} \to \dfrac{e^0}{1} = 1$.

Example — L'Hôpital applied twice

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$. Form $\frac{0}{0}$. First application: $\dfrac{e^x-1}{2x}$. Still $\frac{0}{0}$. Second application: $\dfrac{e^x}{2}\to\dfrac{1}{2}$.

Remark

L’Hôpital is very powerful but is not the only method: equivalent functions (seen in the chapter on limits) are often faster. It is best to use L’Hôpital as a “reserve weapon” when equivalent functions are not enough.

Links

Topics: Calculus theorems
Concepts: Derivative · Indeterminate form · L’Hôpital’s theorem
Methods: L’Hôpital limits
Skills: Computing limits
People: Guillaume de l’Hôpital