Teorema di Lagrange (o del valore medio)

Il teorema di Lagrange generalizza quello di Rolle: senza chiedere che gli estremi abbiano la stessa quota, garantisce l’esistenza di un punto in cui la tangente è parallela alla secante che congiunge gli estremi. Da qui discendono le conseguenze che trasformano lo studio del segno della derivata nello strumento principale per capire dove una funzione cresce e dove decresce.

• Il teorema di Lagrange
• Conseguenze di Lagrange: crescenza e decrescenza

Lagrange’s theorem generalises Rolle’s: without requiring the endpoints to be at the same height, it guarantees the existence of a point where the tangent is parallel to the secant joining the endpoints. From here follow the consequences that turn the study of the sign of the derivative into the main tool for understanding where a function increases and where it decreases.

• Lagrange’s theorem
• Consequences of Lagrange: increase and decrease

Il teorema di Lagrange, detto anche teorema del valore medio, afferma che per una funzione regolare la pendenza media sull’intervallo è realizzata come pendenza istantanea in almeno un punto interno.

Teorema — Lagrange

Se $f$ è continua su $[a,b]$ e derivabile su $(a,b)$, esiste almeno un $c\in(a,b)$ tale che: $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Osservazione — Significato geometrico

Il membro di destra è il coefficiente angolare della secante passante per $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$. Il teorema dice che esiste almeno un punto $c$ dove la tangente è parallela alla secante.

Storia — Da Rolle a Cauchy

Il nucleo del risultato risale a Michel Rolle, che nel 1691 provò il caso $f(a)=f(b)$ per i polinomi, curiosamente da critico dei “nuovi” metodi infinitesimali (Boyer). L’enunciato generale del valor medio e il suo uso sistematico si affermarono solo un secolo dopo con Joseph-Louis Lagrange, che nella Théorie des fonctions analytiques (1797) lo pose a fondamento del calcolo (Katz). Fu però Augustin-Louis Cauchy, nel Cours d’analyse e nelle lezioni all’École Polytechnique degli anni 1820, a darne la forma rigorosa moderna e a generalizzarlo nel teorema che porta il suo nome, $\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}$, base della regola di de l’Hôpital (Stillwell).

In $c$ la tangente (rossa) è parallela alla secante (arancione) che congiunge gli estremi $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$.

Esempio — Quesito maturità 2007: Lagrange su $f(x)=x^3+8$

Dimostriamo che $f(x) = x^3+8$ soddisfa il teorema di Lagrange su $[-2,2]$ e troviamo $c$.

Ipotesi: $f$ è un polinomio, quindi continua e derivabile ✓.

Calcolo: $\dfrac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)} = \dfrac{(8+8)-(-8+8)}{4} = \dfrac{16}{4} = 4$.

Trovo $c$: impongo $f'(c) = 3c^2 = 4 \implies c^2 = \dfrac{4}{3} \implies c = \pm\dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1{,}15$.

Controllo: $c\approx \pm 1{,}15 \in (-2,2)$ ✓.

Nella simulazione seguente puoi spostare gli estremi $a$ e $b$: il punto $c$ si aggiorna in tempo reale e la tangente in $c$ resta sempre parallela alla corda $AB$.

Collegamenti

Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Secante · Tangente · Teorema del valor medio · Teorema di lagrange
Metodi: Rolle lagrange
Persone: Augustin-Louis Cauchy · Joseph-Louis Lagrange · Michel Rolle

Lagrange’s theorem, also called the mean value theorem, states that for a well-behaved function the average slope over the interval is realised as the instantaneous slope at at least one interior point.

Theorem — Lagrange

If $f$ is continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$, there exists at least one $c\in(a,b)$ such that: $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Remark — Geometric meaning

The right-hand side is the gradient of the secant through $(a,f(a))$ and $(b,f(b))$. The theorem says that there exists at least one point $c$ where the tangent is parallel to the secant.

History — From Rolle to Cauchy

The core of the result goes back to Michel Rolle, who in 1691 proved the case $f(a)=f(b)$ for polynomials, curiously as a critic of the “new” infinitesimal methods (Boyer). The general mean value statement and its systematic use took hold only a century later with Joseph-Louis Lagrange, who in the Théorie des fonctions analytiques (1797) made it a foundation of the calculus (Katz). It was Augustin-Louis Cauchy, however, in the Cours d’analyse and the École Polytechnique lectures of the 1820s, who gave it its rigorous modern form and generalised it into the theorem bearing his name, $\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}$, the basis of l’Hôpital’s rule (Stillwell).

At $c$ the tangent (red) is parallel to the secant (orange) joining the endpoints $(a,f(a))$ and $(b,f(b))$.

Example — Maturità exam question 2007: Lagrange on $f(x)=x^3+8$

We show that $f(x) = x^3+8$ satisfies Lagrange’s theorem on $[-2,2]$ and we find $c$.

Hypotheses: $f$ is a polynomial, hence continuous and differentiable ✓.

Computation: $\dfrac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)} = \dfrac{(8+8)-(-8+8)}{4} = \dfrac{16}{4} = 4$.

Finding $c$: I impose $f'(c) = 3c^2 = 4 \implies c^2 = \dfrac{4}{3} \implies c = \pm\dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1{,}15$.

Check: $c\approx \pm 1{,}15 \in (-2,2)$ ✓.

In the simulation below you can move the endpoints $a$ and $b$: the point $c$ updates in real time and the tangent at $c$ always stays parallel to the chord $AB$.

Links

Topics: Calculus theorems
Concepts: Secant · Tangent · Mean value theorem · Lagrange’s theorem
Methods: Rolle Lagrange
People: Joseph-Louis Lagrange

Dalle ipotesi del teorema di Lagrange discendono direttamente i legami tra il segno della derivata e l’andamento della funzione: sono le proprietà che rendono la derivata lo strumento principe dello studio di funzione.

Proprietà — Conseguenze fondamentali di Lagrange

• Se $f'(x)>0$ per ogni $x\in(a,b)$ $\implies$ $f$ è strettamente crescente su $[a,b]$.
• Se $f'(x)<0$ per ogni $x\in(a,b)$ $\implies$ $f$ è strettamente decrescente.
• Se $f'(x)=0$ per ogni $x\in(a,b)$ $\implies$ $f$ è costante.

Queste conseguenze trasformano lo studio del segno della derivata nello strumento principale per capire dove una funzione cresce e dove decresce.

Collegamenti

Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Crescenza decrescenza · Derivata · Teorema di lagrange
Competenze: Studiare funzione
Persone: Joseph-Louis Lagrange

From the hypotheses of Lagrange’s theorem the links between the sign of the derivative and the behaviour of the function follow directly: these are the properties that make the derivative the foremost tool for studying a function.

Property — Fundamental consequences of Lagrange

• If $f'(x)>0$ for every $x\in(a,b)$ $\implies$ $f$ is strictly increasing on $[a,b]$.
• If $f'(x)<0$ for every $x\in(a,b)$ $\implies$ $f$ is strictly decreasing.
• If $f'(x)=0$ for every $x\in(a,b)$ $\implies$ $f$ is constant.

These consequences turn the study of the sign of the derivative into the main tool for understanding where a function increases and where it decreases.

Links

Topics: Calculus theorems
Concepts: Increase and decrease · Derivative · Lagrange’s theorem
Skills: Studying a function
People: Joseph-Louis Lagrange