L'integrale definito

Il differenziale $df = f'(x)\,dx$ misura la variazione infinitesima di una funzione. L’integrale è l’operazione inversa: una somma infinita di differenziali. In questa sezione definiamo l’integrale definito come somma di infiniti rettangolini infinitesimi — cioè come l’area sotto una curva — e impostiamo il problema tipo che risolveremo con la primitiva.

• L’integrale definito come somma di differenziali
• L’area sotto una curva

The differential $df = f'(x)\,dx$ measures the infinitesimal change of a function. The integral is the inverse operation: an infinite sum of differentials. In this section we define the definite integral as a sum of infinitely many infinitesimal rectangles — that is, as the area under a curve — and set up the model problem that we will solve with the antiderivative.

• The definite integral as a sum of differentials
• The area under a curve

Nel capitolo sulle derivate abbiamo visto che il differenziale $df = f'(x)\,dx$ misura la variazione infinitesima di una funzione. L’integrale è l’operazione inversa: è una somma infinita di differenziali.

Definizione — L'integrale definito

L’integrale definito di $f$ da $a$ a $b$ è la somma di infiniti rettangolini infinitesimi di base $dx$ e altezza $f(x)$: $\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^N f(x_i)\,\Delta x, \qquad \Delta x = \frac{b-a}{N}.$ Il simbolo $\int$ è una “S” allungata (da summa); $dx$ è il “pezzettino” infinitesimo della variabile; $a$ e $b$ sono gli estremi di integrazione.

Storia — La "S" allungata di Leibniz

Il simbolo $\int$ nacque il 29 ottobre 1675 dalla penna di Gottfried Leibniz, che allungò la lettera S iniziale della parola latina summa proprio per ricordare che l’integrale è una somma di infiniti differenziali $f(x)\,dx$. Negli stessi anni Isaac Newton sviluppava un calcolo equivalente con una notazione diversa, le “flussioni” indicate da un puntino sopra la variabile ($\dot{x}$), e la disputa sulla priorità fra i due divise per decenni i matematici europei. Alla fine prevalse la scrittura di Leibniz, così efficace e maneggevole che la usiamo ancora oggi (Boyer, Katz).

Ogni rettangolino ha base $dx$ (infinitesima) e altezza $f(x)$: la sua area è $dA = f(x)\,dx$, un differenziale di area. L’integrale è la somma di tutti questi differenziali, “da $x=a$ a $x=b$”. Facendo il limite $\Delta x \to 0$ e rendendo infinito il numero $N$ dei rettangolini, la somma diventa esatta e coincide con l’area della regione compresa tra il grafico di $f$, l’asse $x$ e le rette $x=a$, $x=b$.

L’area sottesa (in verde) è approssimata da tanti rettangolini di base $dx$ e altezza $f(x)$: l’integrale è il limite della loro somma quando $dx\to 0$.

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Argomenti: Integrale
Concetti: Area sottesa · Differenziale · Integrale definito · Somma di riemann
Competenze: Integrare
Persone: Gottfried Leibniz · Isaac Newton

In the chapter on derivatives we saw that the differential $df = f'(x)\,dx$ measures the infinitesimal change of a function. The integral is the inverse operation: it is an infinite sum of differentials.

Definition — The definite integral

The definite integral of $f$ from $a$ to $b$ is the sum of infinitely many infinitesimal rectangles of base $dx$ and height $f(x)$: $\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^N f(x_i)\,\Delta x, \qquad \Delta x = \frac{b-a}{N}.$ The symbol $\int$ is an elongated “S” (from summa); $dx$ is the infinitesimal “little piece” of the variable; $a$ and $b$ are the limits of integration.

History — Leibniz's elongated "S"

The symbol $\int$ was born on 29 October 1675 from the pen of Gottfried Leibniz, who elongated the initial letter S of the Latin word summa precisely to recall that the integral is a sum of infinitely many differentials $f(x)\,dx$. In the same years Isaac Newton was developing an equivalent calculus with a different notation, the “fluxions” marked by a dot over the variable ($\dot{x}$), and the dispute over priority between the two divided European mathematicians for decades. In the end Leibniz’s notation prevailed, so effective and handy that we still use it today (Boyer, Katz).

Each little rectangle has base $dx$ (infinitesimal) and height $f(x)$: its area is $dA = f(x)\,dx$, a differential of area. The integral is the sum of all these differentials, “from $x=a$ to $x=b$”. Taking the limit $\Delta x \to 0$ and making the number $N$ of rectangles infinite, the sum becomes exact and coincides with the area of the region between the graph of $f$, the $x$-axis and the lines $x=a$, $x=b$.

The area beneath (in green) is approximated by many little rectangles of base $dx$ and height $f(x)$: the integral is the limit of their sum as $dx\to 0$.

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Topics: Integral
Concepts: Area beneath a curve · Differential · Definite integral · Riemann sum
Skills: Integrating

Per capire a cosa serve l’integrale definito, poniamoci un problema concreto: calcolare l’area di una regione delimitata da una curva.

Esempio — L'area sotto $y = x^4$ tra $x=0$ e $x=a$

Vogliamo calcolare l’area della porzione di piano compresa tra la curva $y = x^4$, l’asse $x$ e le rette $x=0$ e $x=a$: $A = \int_0^a x^4\,dx = \sum \text{(rettangolini)} = \,?$ Come si calcola questa somma? Sommare “a mano” infiniti rettangolini è impossibile. Qui entra in gioco la primitiva, che trasforma questa somma infinita in una semplice sottrazione.

La risposta a questo problema è sviluppata nell’atomo Il calcolo dell’area con la primitiva.

Prova tu: aumenta il numero $n$ di rettangoli e osserva la somma delle loro aree avvicinarsi sempre di più all’area esatta sotto la curva.

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Argomenti: Integrale
Concetti: Area sottesa · Integrale definito
Competenze: Integrare

To understand what the definite integral is for, let us pose a concrete problem: computing the area of a region bounded by a curve.

Example — The area under $y = x^4$ between $x=0$ and $x=a$

We want to compute the area of the portion of the plane between the curve $y = x^4$, the $x$-axis and the lines $x=0$ and $x=a$: $A = \int_0^a x^4\,dx = \sum \text{(little rectangles)} = \,?$ How do we compute this sum? Summing “by hand” infinitely many little rectangles is impossible. This is where the antiderivative comes into play, turning this infinite sum into a simple subtraction.

The answer to this problem is developed in the atom Computing the area with the antiderivative.

Try it yourself: increase the number $n$ of rectangles and watch the sum of their areas get closer and closer to the exact area under the curve.

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Topics: Integral
Concepts: Area beneath a curve · Definite integral
Skills: Integrating

L’idea di calcolare un’area sommando infiniti pezzettini è antichissima: ha attraversato più di duemila anni prima di ricevere, con Bernhard Riemann, la definizione rigorosa che ancora oggi impariamo.

Il metodo di esaustione di Archimede

Nel III secolo a.C. Archimede sapeva già “integrare” senza avere il simbolo $\int$. Con il metodo di esaustione — ereditato da Eudosso — approssimava una figura curvilinea con poligoni sempre più fitti, inscritti e circoscritti, e “chiudeva” l’area tra due successioni che la stringevano da sopra e da sotto. Nella Quadratura della parabola dimostrò così che l’area di un segmento parabolico vale esattamente $\frac{4}{3}$ dell’area del triangolo inscritto, sommando la serie geometrica

$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots = \frac{4}{3}.$

Era un ragionamento per doppia riduzione all’assurdo, corretto ma laborioso: mancava un algoritmo generale (Boyer, Netz).

Gli indivisibili e la nascita del calcolo

Nel Seicento Bonaventura Cavalieri riprese l’idea con il metodo degli indivisibili, immaginando un’area come somma di infinite “corde” e un volume come somma di infinite sezioni (vedi Il principio di Cavalieri). Pochi decenni dopo Isaac Newton e Gottfried Leibniz riconobbero che dietro tangenti, velocità e aree si nascondeva un unico strumento — il calcolo — con regole generali e una notazione efficiente, e il teorema fondamentale legò l’integrale alla derivata. Il calcolo funzionava benissimo, ma poggiava su “infinitesimi” dallo statuto logico ancora incerto.

Il rigore di Riemann

Toccò all’Ottocento dare basi solide. Nel 1854, nella sua dissertazione di abilitazione a Gottinga, Bernhard Riemann definì l’integrale $\int_a^b f(x)\,dx$ come il limite delle somme

$\sum_{i=1}^{N} f(\xi_i)\,\Delta x_i,$

al tendere a zero dell’ampiezza massima degli intervallini, senza più bisogno di parlare di quantità “infinitamente piccole”. Una funzione è integrabile secondo Riemann quando questo limite esiste ed è lo stesso qualunque sia la scelta dei punti $\xi_i$ e della suddivisione. Le somme che vediamo nella definizione dell’integrale — e nella simulazione con i rettangolini — si chiamano infatti somme di Riemann in suo onore: chiudono, con il linguaggio del limite, il cerchio aperto da Archimede venti secoli prima (Boyer, Katz).

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Concetti: Area sottesa · Integrale definito · Somma di riemann
Persone: Archimede · Gottfried Leibniz · Isaac Newton · Bernhard Riemann

The idea of computing an area by summing infinitely many little pieces is extremely old: it travelled through more than two thousand years before receiving, with Bernhard Riemann, the rigorous definition we still learn today.

Archimedes’ method of exhaustion

In the 3rd century BC Archimedes could already “integrate” without having the symbol $\int$. With the method of exhaustion — inherited from Eudoxus — he approximated a curved figure with ever finer inscribed and circumscribed polygons, and “trapped” the area between two sequences squeezing it from above and below. In the Quadrature of the Parabola he proved in this way that the area of a parabolic segment equals exactly $\frac{4}{3}$ of the inscribed triangle, summing the geometric series

$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots = \frac{4}{3}.$

It was an argument by double reductio ad absurdum, correct but laborious: a general algorithm was still missing (Boyer, Netz).

Indivisibles and the birth of the calculus

In the seventeenth century Bonaventura Cavalieri took up the idea again with the method of indivisibles, picturing an area as a sum of infinitely many “chords” and a volume as a sum of infinitely many sections (see Cavalieri’s principle). A few decades later Isaac Newton and Gottfried Leibniz recognised that behind tangents, velocities and areas lay a single tool — the calculus — with general rules and an efficient notation, and the fundamental theorem tied the integral to the derivative. The calculus worked beautifully, yet it rested on “infinitesimals” whose logical status was still uncertain.

Riemann’s rigour

It fell to the nineteenth century to provide solid foundations. In 1854, in his habilitation dissertation at Göttingen, Bernhard Riemann defined the integral $\int_a^b f(x)\,dx$ as the limit of the sums

$\sum_{i=1}^{N} f(\xi_i)\,\Delta x_i,$

as the largest width of the subintervals tends to zero, with no further need to speak of “infinitely small” quantities. A function is Riemann integrable when this limit exists and is the same whatever the choice of the sample points $\xi_i$ and of the partition. The sums appearing in the definition of the integral — and in the simulation with the little rectangles — are indeed called Riemann sums in his honour: with the language of the limit, they close the circle opened by Archimedes twenty centuries earlier (Boyer, Katz).

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