La primitiva

Per calcolare un integrale definito senza sommare davvero infiniti rettangolini, l’idea geniale è cercare una funzione $F$ la cui derivata sia $f$: la primitiva. La somma dei differenziali $dF$ da $a$ a $b$ non è altro che l’aumento totale di $F$, cioè $F(b)-F(a)$. Questo legame — il cuore del teorema fondamentale del calcolo — trasforma un integrale in una sottrazione.

• La primitiva, inversa della derivata
• Il calcolo dell’area con la primitiva

To compute a definite integral without really summing infinitely many little rectangles, the brilliant idea is to look for a function $F$ whose derivative is $f$: the antiderivative. The sum of the differentials $dF$ from $a$ to $b$ is nothing but the total increase of $F$, that is $F(b)-F(a)$. This link — the heart of the fundamental theorem of calculus — turns an integral into a subtraction.

• The antiderivative, inverse of the derivative
• Computing the area with the antiderivative

Per calcolare l’integrale definito, l’idea geniale è: supponiamo di aver trovato una funzione $F(x)$ la cui derivata è $f(x)$, cioè $F'(x) = f(x)$. In tal caso il differenziale di $F$ è $dF = F'(x)\,dx = f(x)\,dx.$ Ma $f(x)\,dx$ è esattamente il “pezzettino” che stiamo sommando nell’integrale! Dunque:

$\int_a^b f(x)\,dx = \sum_{x=a}^{x=b} dF = F(b) - F(a).$

La somma di tutti i pezzettini $dF$ da $a$ a $b$ non è altro che l’aumento totale di $F$: cioè il valore finale $F(b)$ meno il valore iniziale $F(a)$. È questo il legame — noto come teorema fondamentale del calcolo — che rende l’integrale calcolabile.

Definizione — Primitiva

$F(x)$ si dice primitiva di $f(x)$ se $F'(x) = f(x)$. Si scrive: $\mathcal{P}(f) = F \iff F' = f.$ La primitiva è l’operazione inversa della derivata: se derivare $F$ dà $f$, trovare la primitiva di $f$ dà $F$.

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Differenziale · Integrale definito · Primitiva · Teorema fondamentale del calcolo
Competenze: Integrare

To compute the definite integral, the brilliant idea is: suppose we have found a function $F(x)$ whose derivative is $f(x)$, that is $F'(x) = f(x)$. In that case the differential of $F$ is $dF = F'(x)\,dx = f(x)\,dx.$ But $f(x)\,dx$ is exactly the “little piece” we are summing in the integral! Hence:

$\int_a^b f(x)\,dx = \sum_{x=a}^{x=b} dF = F(b) - F(a).$

The sum of all the little pieces $dF$ from $a$ to $b$ is nothing but the total increase of $F$: that is, the final value $F(b)$ minus the initial value $F(a)$. It is this link — known as the fundamental theorem of calculus — that makes the integral computable.

Definition — Antiderivative

$F(x)$ is called an antiderivative of $f(x)$ if $F'(x) = f(x)$. One writes: $\mathcal{P}(f) = F \iff F' = f.$ The antiderivative is the inverse operation of the derivative: if differentiating $F$ gives $f$, finding the antiderivative of $f$ gives $F$.

Links

Topics: Integral
Concepts: Differential · Definite integral · Antiderivative · Fundamental theorem of calculus
Skills: Integrating

Riprendiamo il problema lasciato in sospeso: l’area sotto $y=x^4$ tra $x=0$ e $x=a$. Ora abbiamo lo strumento per risolverlo.

Osservazione — Completiamo l'esempio

Per $f(x) = x^4$ cerchiamo $F$ con $F'(x) = x^4$. La risposta è $F(x) = \dfrac{x^5}{5}$, perché $\left(\dfrac{x^5}{5}\right)' = x^4$. Quindi: $A = \int_0^a x^4\,dx = F(a) - F(0) = \frac{a^5}{5} - 0 = \boxed{\dfrac{a^5}{5}}.$

La somma infinita di rettangolini si è ridotta a un semplice conto: trovare la primitiva e valutarla agli estremi. Questo è il metodo generale con cui calcoleremo tutti gli integrali definiti.

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Area sottesa · Integrale definito · Primitiva
Competenze: Calcolare · Integrare

Let us take up the problem left pending: the area under $y=x^4$ between $x=0$ and $x=a$. Now we have the tool to solve it.

Remark — Completing the example

For $f(x) = x^4$ we look for $F$ with $F'(x) = x^4$. The answer is $F(x) = \dfrac{x^5}{5}$, because $\left(\dfrac{x^5}{5}\right)' = x^4$. Hence: $A = \int_0^a x^4\,dx = F(a) - F(0) = \frac{a^5}{5} - 0 = \boxed{\dfrac{a^5}{5}}.$

The infinite sum of little rectangles has been reduced to a simple calculation: find the antiderivative and evaluate it at the endpoints. This is the general method with which we will compute all definite integrals.

Links

Topics: Integral
Concepts: Area beneath a curve · Definite integral · Antiderivative
Skills: Calculating · Integrating