Volumi per integrazione

Applicazione immediata dell’integrale definito: “affettare” un solido in strati infinitesimi di spessore $dz$ e sommarne i volumi. La formula $V=\int A(z)\,dz$ (la versione analitica del principio di Cavalieri) ci dà con pochi passaggi i volumi classici — sfera, cono, piramide — e persino il centro di massa di un solido.

• Volume della sfera
• Volume del cono
• Volume della piramide
• Centro di massa del cono

An immediate application of the definite integral: “slicing” a solid into infinitesimal layers of thickness $dz$ and summing their volumes. The formula $V=\int A(z)\,dz$ (the analytic version of Cavalieri’s principle) gives us in a few steps the classic volumes — sphere, cone, pyramid — and even the centre of mass of a solid.

• Volume of the sphere
• Volume of the cone
• Volume of the pyramid
• Centre of mass of the cone

La sfera si “affetta” in dischi circolari di spessore $dz$. A quota $z$, il disco ha raggio $r(z) = \sqrt{R^2-z^2}$ e volume $dV = \pi r^2\,dz = \pi(R^2-z^2)\,dz.$

La sfera affettata in dischi: a quota $z$ il disco ha raggio $r(z)=\sqrt{R^2-z^2}$.

Sommando i dischi da $z=-R$ a $z=R$: $V = \int_{-R}^{R}\pi(R^2-z^2)\,dz = \pi\left[R^2 z - \frac{z^3}{3}\right]_{-R}^{R} = \pi\left[2R^3-\frac{2R^3}{3}\right] = \boxed{\dfrac{4}{3}\pi R^3}.$

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale definito · Volume per sezioni
Competenze: Calcolare · Integrare

The sphere is “sliced” into circular discs of thickness $dz$. At height $z$, the disc has radius $r(z) = \sqrt{R^2-z^2}$ and volume $dV = \pi r^2\,dz = \pi(R^2-z^2)\,dz.$

The sphere sliced into discs: at height $z$ the disc has radius $r(z)=\sqrt{R^2-z^2}$.

Summing the discs from $z=-R$ to $z=R$: $V = \int_{-R}^{R}\pi(R^2-z^2)\,dz = \pi\left[R^2 z - \frac{z^3}{3}\right]_{-R}^{R} = \pi\left[2R^3-\frac{2R^3}{3}\right] = \boxed{\dfrac{4}{3}\pi R^3}.$

Links

Topics: Integrale
Concepts: Integrale definito · Volume per sezioni
Skills: Calcolare · Integrare

Consideriamo un cono di raggio di base $R$ e altezza $H$. A quota $z$ il raggio della sezione, per proporzione, vale $r(z) = R(H-z)/H$. Il disco elementare ha volume $dV = \pi r^2\,dz$.

Sommando i dischi da $z=0$ a $z=H$: $V = \frac{\pi R^2}{H^2}\int_0^H(H-z)^2\,dz = \frac{\pi R^2}{H^2}\cdot\frac{H^3}{3} = \boxed{\dfrac{1}{3}\pi R^2 H}.$

Il fattore $\tfrac13$ è lo stesso che compare nella piramide: entrambe hanno sezioni che si rimpiccioliscono linearmente verso il vertice.

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale definito · Volume per sezioni
Competenze: Calcolare · Integrare

Consider a cone with base radius $R$ and height $H$. At height $z$ the radius of the cross-section, by proportion, is $r(z) = R(H-z)/H$. The elementary disc has volume $dV = \pi r^2\,dz$.

Summing the discs from $z=0$ to $z=H$: $V = \frac{\pi R^2}{H^2}\int_0^H(H-z)^2\,dz = \frac{\pi R^2}{H^2}\cdot\frac{H^3}{3} = \boxed{\dfrac{1}{3}\pi R^2 H}.$

The factor $\tfrac13$ is the same one that appears in the pyramid: both have cross-sections that shrink linearly towards the apex.

Links

Topics: Integrale
Concepts: Integrale definito · Volume per sezioni
Skills: Calcolare · Integrare

Una piramide con base di area $B$ e altezza $H$ si “affetta” in strati orizzontali di spessore $dz$. A quota $z$ (misurata dalla punta), la sezione è simile alla base con fattore di scala lineare $z/H$: l’area della sezione è quindi $A(z) = B\cdot(z/H)^2$.

La piramide affettata: a quota $z$ dalla punta la sezione è simile alla base con fattore $z/H$.

Il volume del singolo strato è $dV = A(z)\,dz = B\cdot\dfrac{z^2}{H^2}\,dz$. Sommiamo da $z=0$ (punta) a $z=H$ (base): $V = \int_0^H B\cdot\frac{z^2}{H^2}\,dz = \frac{B}{H^2}\int_0^H z^2\,dz = \frac{B}{H^2}\cdot\frac{H^3}{3} = \boxed{\dfrac{1}{3}B\cdot H}.$

Osservazione

La formula $V = \frac{1}{3}Bh$ vale per qualunque piramide (anche non retta, anche con base irregolare): l’unica cosa che conta è che le sezioni a quota $z$ siano simili alla base con fattore lineare. È lo stesso principio del cono (una “piramide a base circolare”) e spiega perché il fattore $1/3$ compaia in entrambi.

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale definito · Principio di cavalieri · Volume per sezioni
Competenze: Calcolare · Integrare

A pyramid with base of area $B$ and height $H$ is “sliced” into horizontal layers of thickness $dz$. At height $z$ (measured from the apex), the cross-section is similar to the base with linear scale factor $z/H$: the area of the cross-section is therefore $A(z) = B\cdot(z/H)^2$.

The pyramid sliced: at height $z$ from the apex the cross-section is similar to the base with factor $z/H$.

The volume of a single layer is $dV = A(z)\,dz = B\cdot\dfrac{z^2}{H^2}\,dz$. We sum from $z=0$ (apex) to $z=H$ (base): $V = \int_0^H B\cdot\frac{z^2}{H^2}\,dz = \frac{B}{H^2}\int_0^H z^2\,dz = \frac{B}{H^2}\cdot\frac{H^3}{3} = \boxed{\dfrac{1}{3}B\cdot H}.$

Remark

The formula $V = \frac{1}{3}Bh$ holds for any pyramid (even a non-right one, even with an irregular base): the only thing that matters is that the cross-sections at height $z$ be similar to the base with a linear factor. It is the same principle as the cone (a “pyramid with a circular base”) and it explains why the factor $1/3$ appears in both.

Links

Topics: Integrale
Concepts: Integrale definito · Principio di cavalieri · Volume per sezioni
Skills: Calcolare · Integrare

L’integrale non serve solo per aree e volumi: permette anche di calcolare il centro di massa di un solido, con la formula $z_{CM} = \dfrac{\int z\,dm}{\int dm}$, dove $dm = \rho\,dV$.

Per un cono omogeneo (densità $\rho$ costante, che si semplifica), affettato in dischi di raggio $r(z)$: $z_{CM} = \frac{\int_0^H z\cdot\pi r^2(z)\,dz}{\int_0^H \pi r^2(z)\,dz} = \frac{\int_0^H z(H-z)^2\,dz}{\int_0^H(H-z)^2\,dz}.$

Sviluppando il numeratore $z(H-z)^2 = zH^2 - 2H z^2 + z^3$ e integrando termine per termine, si trova $z_{CM} = \frac{H}{4}.$ Il baricentro di un cono omogeneo si trova quindi a un quarto dell’altezza a partire dalla base.

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Centro di massa · Integrale definito
Competenze: Integrare · Modellizzare

The integral is not only useful for areas and volumes: it also allows us to compute the centre of mass of a solid, with the formula $z_{CM} = \dfrac{\int z\,dm}{\int dm}$, where $dm = \rho\,dV$.

For a homogeneous cone (constant density $\rho$, which cancels out), sliced into discs of radius $r(z)$: $z_{CM} = \frac{\int_0^H z\cdot\pi r^2(z)\,dz}{\int_0^H \pi r^2(z)\,dz} = \frac{\int_0^H z(H-z)^2\,dz}{\int_0^H(H-z)^2\,dz}.$

Expanding the numerator $z(H-z)^2 = zH^2 - 2H z^2 + z^3$ and integrating term by term, one finds $z_{CM} = \frac{H}{4}.$ The centroid of a homogeneous cone therefore lies at a quarter of the height starting from the base.

Links

Topics: Integrale
Concepts: Centro di massa · Integrale definito
Skills: Integrare · Modellizzare