Cubica ax³+bx²+cx: studio e ricostruzione dai vincoli

Testo

Sia $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$.

• (a) con $a=-1,\ b=13,\ c=-40$: studia il segno e le intersezioni con gli assi;
• (b) determina massimi/minimi relativi, il flesso e la retta tangente nel flesso;
• (c) traccia il grafico;
• (d) trova $a,b,c$ affinché il grafico abbia un flesso in $P(1,2)$ e un estremo relativo in $x=0$ (di’ se massimo o minimo);
• (e) trova $a,b,c$ per un massimo relativo in $P(-3,3)$ e un minimo relativo in $x=0$;
• (f) trova $a,b,c$ per un flesso in $P(1,1)$ con tangente orizzontale.

Soluzione

(a) Segno e zeri. $f(x) = -x^3 + 13x^2 - 40x = -x(x-5)(x-8)$; zeri $x=0,\ 5,\ 8$.

(b) Estremi, flesso, tangente. $f'(x) = -3x^2 + 26x - 40 = 0 \Rightarrow x = 2,\ x = \tfrac{20}{3}$. In $x=2$: minimo relativo, $f(2) = -8 + 52 - 80 = -36$. In $x=\tfrac{20}{3}$: massimo relativo, $f\!\left(\tfrac{20}{3}\right) \approx 14{,}8$. $f''(x) = -6x + 26 = 0 \Rightarrow$ flesso in $x = \tfrac{13}{3} \approx 4{,}33$; pendenza della tangente nel flesso $f'\!\left(\tfrac{13}{3}\right) = \tfrac{49}{3} \approx 16{,}33$.

(c) Il grafico è una cubica decrescente ai lati, con minimo in $(2,-36)$, flesso in $x=\tfrac{13}{3}$ e massimo in $\left(\tfrac{20}{3},\,\approx 14{,}8\right)$.

(d) Flesso in $P(1,2)$, estremo in $x=0$. Poiché $f(0)=0$ automaticamente e $f'(0)=c$, l’estremo in $0$ dà $c=0$. Flesso in $x=1$: $f''(1) = 6a + 2b = 0 \Rightarrow b = -3a$. Passaggio per $(1,2)$: $a + b + c = -2a = 2 \Rightarrow a = -1,\ b = 3,\ c = 0$. Inoltre $f''(0) = 2b = 6 > 0$: in $x=0$ c’è un minimo. Dunque $f(x) = -x^3 + 3x^2$.

(e) Massimo in $P(-3,3)$, minimo in $x=0$. L’estremo in $0$ dà $c = 0$, con $f''(0) = 2b > 0$ (minimo). Massimo in $x=-3$: $f'(-3) = 27a - 6b = 0 \Rightarrow b = \tfrac{9a}{2}$. Passaggio per $(-3,3)$: $-27a + 9b = \tfrac{27a}{2} = 3 \Rightarrow a = \tfrac{2}{9},\ b = 1,\ c = 0$.

(f) Flesso in $P(1,1)$ con tangente orizzontale. Condizioni $f'(1) = 0,\ f''(1) = 0,\ f(1) = 1$. Da $f''(1) = 6a + 2b = 0 \Rightarrow b = -3a$; da $f'(1) = 3a + 2b + c = 0 \Rightarrow c = 3a$; da $f(1) = a + b + c = a = 1 \Rightarrow a = 1,\ b = -3,\ c = 3$. Dunque $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$. $\boxed{\text{(d) } a=-1,\,b=3,\,c=0;\quad \text{(e) } a=\tfrac29,\,b=1,\,c=0;\quad \text{(f) } a=1,\,b=-3,\,c=3}$

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Massimo relativo · Parametro · Punto di flesso · Retta · Retta tangente · Segno · Studio di funzione
Competenze: Ragionare per casi · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione