Derivata di ln x dalla definizione

Testo

Sia $f(x)=\ln x$, con $x>0$. (a) Calcola $f'(1)$ usando la definizione di derivata $f'(1)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$. (b) Ripeti il calcolo per $f'(c)$ in un generico punto $c>0$.

Soluzione

(a) Poiché $f(1)=\ln 1=0$: $f'(1)=\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)-\ln 1}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1,$ usando il limite notevole $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1$.

(b) In un generico $c>0$: $f'(c)=\lim_{h\to0}\frac{\ln(c+h)-\ln c}{h}=\lim_{h\to0}\frac1h\ln\!\frac{c+h}{c}=\lim_{h\to0}\frac1h\ln\!\left(1+\frac hc\right).$ Ponendo $t=\dfrac hc\to0$, si ha $\dfrac1h=\dfrac1{ct}$, quindi $f'(c)=\lim_{t\to0}\frac{1}{ct}\ln(1+t)=\frac1c\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=\frac1c.$ In particolare $f'(1)=1$, coerente con il punto (a). $\boxed{\;f'(c)=\dfrac1c\;}$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Limite
Competenze: Derivare
Tipo di esercizio: Dimostrazione