Tangenti e raccordo per x ln x − 3x/2

Testo

Sia $f(x)=x\ln x-\tfrac32 x$, con $x>0$. (a) Calcola $f'(x)$ e determina eventuali massimi e minimi relativi. (b) Verifica che esiste una sola retta tangente al grafico condotta dal punto $Q(0,-1)$: trovane l’equazione e il punto di tangenza. (c) Trova $h,k$ tali che $y=f(x)$ e la retta $y=x+hx+k$ siano tangenti nel punto comune di ascissa $x=1$.

Soluzione

(a) Derivata: $f'(x)=\ln x+x\cdot\frac1x-\frac32=\ln x+1-\frac32=\ln x-\frac12.$ $f'(x)=0\Rightarrow \ln x=\tfrac12\Rightarrow x=\sqrt e\approx 1.6487$. Poiché $f''(x)=\dfrac1x>0$, è un minimo: $f(\sqrt e)=\sqrt e\left(\tfrac12-\tfrac32\right)=-\sqrt e\approx -1.6487.$

(b) La tangente nel punto $(t,f(t))$ ha equazione $y=f(t)+f'(t)(x-t)$. Imponendo il passaggio per $Q(0,-1)$: $-1=f(t)-t\,f'(t)=\big(t\ln t-\tfrac32 t\big)-t\big(\ln t-\tfrac12\big)=-t.$ Quindi $t=1$ (unico valore): il punto di tangenza è $(1,f(1))=(1,-\tfrac32)$. Con $f'(1)=\ln1-\tfrac12=-\tfrac12$, la retta è $y=-\tfrac12(x-1)-\tfrac32=-\tfrac12 x-1.$

(c) La retta è $y=(1+h)x+k$, con pendenza $1+h$. Tangenza in $x=1$ richiede uguali pendenze e uguali valori: $1+h=f'(1)=-\tfrac12\ \Rightarrow\ h=-\tfrac32;\qquad (1+h)\cdot1+k=f(1)=-\tfrac32.$ Dalla seconda: $-\tfrac12+k=-\tfrac32\Rightarrow k=-1$. $\boxed{\;x_{min}=\sqrt e,\ \ \text{tangente da }Q:\ y=-\tfrac12x-1\ \text{in }(1,-\tfrac32),\ \ h=-\tfrac32,\ k=-1\;}$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Retta · Retta tangente
Competenze: Derivare
Tipo di esercizio: Calcolo tangente