Rettangolo inscritto in un semicerchio

Testo

Un rettangolo è inscritto in un semicerchio di raggio $R$ (con un lato sul diametro). Qual è il rettangolo di area massima?

Soluzione

Sia $x$ la semibase (metà del lato sul diametro), con $0<x<R$; l’altezza raggiunge la circonferenza, quindi $y=\sqrt{R^2-x^2}$. Area: $A(x)=2x\,y = 2x\sqrt{R^2-x^2}.$ Per evitare la radice massimizzo $A^2 = 4x^2(R^2-x^2)=4(x^2R^2-x^4)$: $(A^2)' = 4(2xR^2-4x^3)=8x(R^2-2x^2)=0 \iff x=\frac{R}{\sqrt2}.$ Allora $y=\sqrt{R^2-R^2/2}=\dfrac{R}{\sqrt2}$: il rettangolo ottimale ha base $2x=R\sqrt2$ e altezza $R/\sqrt2$. $A_{\max}=2\cdot\frac{R}{\sqrt2}\cdot\frac{R}{\sqrt2}=\boxed{R^2}.$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Funzione obiettivo · Massimo minimo
Metodi: Massimo minimo derivata
Competenze: Geometria sintetica · Modellizzare
Tipo di esercizio: Problema geometrico