Newton esatto per funzioni lineari

Testo

Spiegare perché l’iterazione di Newton è esatta in un solo passo per le funzioni lineari $f(x)=ax+b$ (con $a\ne 0$).

Soluzione

Per $f(x)=ax+b$ si ha $f'(x)=a$. Partendo da un qualsiasi $x_0$, un passo di Newton dà $x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = x_0 - \frac{ax_0+b}{a} = x_0 - x_0 - \frac{b}{a} = \boxed{-\frac{b}{a}}.$ Ma $-\dfrac{b}{a}$ è esattamente lo zero di $f$ (risolvendo $ax+b=0$). Quindi Newton trova la radice in un solo passo, qualunque sia la stima iniziale.

La ragione geometrica è immediata: il metodo di Newton sostituisce la funzione con la sua retta tangente e ne cerca lo zero. Se la funzione è già una retta, la tangente coincide con la funzione stessa, e il suo zero è la soluzione esatta.

Collegamenti

Argomenti: Continuita
Concetti: Metodo di newton raphson · Retta · Retta tangente
Metodi: Newton raphson
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione