La continuità è la proprietà che rende “buone” le funzioni: intuitivamente, un grafico che si traccia senza staccare la penna dal foglio. Il capitolo la definisce con precisione a partire dal concetto di limite (tre condizioni simultanee), mostra che le funzioni elementari e le loro combinazioni sono continue nel loro dominio, e studia come verificare la continuità nei punti critici delle funzioni definite a tratti. Quando la continuità viene a mancare, la discontinuità si classifica in tre tipi — prima specie (salto), seconda specie (limite infinito o inesistente) e terza specie (eliminabile). Sugli intervalli chiusi e limitati la continuità garantisce risultati globali potenti: il teorema di Weierstrass (esistenza di massimo e minimo assoluti), il teorema dei valori intermedi e il teorema degli zeri. Da quest’ultimo nascono i metodi numerici per risolvere le equazioni: l’algoritmo di bisezione e il rapido metodo di Newton-Raphson.
Sezioni
- Definizione di continuità
- Continuità delle funzioni a tratti
- Tipi di discontinuità
- Teoremi sulle funzioni continue
- Algoritmo di bisezione e metodo di Newton