Differenza di una radice e un termine lineare

Testo

Calcola $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^{2}+3x}-x\right)$.

Soluzione

Si ha la forma indeterminata $\infty-\infty$. Razionalizzo moltiplicando e dividendo per il coniugato: $\sqrt{x^{2}+3x}-x=\frac{\left(\sqrt{x^{2}+3x}-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+3x}+x\right)}{\sqrt{x^{2}+3x}+x}=\frac{3x}{\sqrt{x^{2}+3x}+x}.$ Divido sopra e sotto per $x>0$ (quindi $x=\sqrt{x^{2}}$): $\frac{3x}{\sqrt{x^{2}+3x}+x}=\frac{3}{\sqrt{1+\tfrac{3}{x}}+1}\xrightarrow[x\to+\infty]{}\frac{3}{1+1}=\frac32.$ $\boxed{\,L=\tfrac32\,}$

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Forme indeterminate · Limite
Competenze: Calcolare limiti · Usare formule
Tipo di esercizio: Calcolo limite