Grafico da condizioni sui limiti (secondo esempio)

Testo

Disegna il grafico di una funzione $g(x)$ che soddisfi: $\lim_{x\to-\infty}g(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-3^-}g(x)=-1^-,\qquad \lim_{x\to-3^+}g(x)=-\infty,$ $\lim_{x\to1^-}g(x)=1^+,\qquad \lim_{x\to1^+}g(x)=1^-,\qquad \lim_{x\to+\infty}g(x)=2^-.$

Soluzione

• $\lim_{x\to-\infty}g(x)=+\infty$: a sinistra il grafico diverge a $+\infty$.
• In $x=-3$: da sinistra il limite è il valore finito $-1$ (avvicinato dal basso, $-1^-$); da destra il ramo scende a $-\infty$, quindi $x=-3$ è un asintoto verticale solo per il ramo destro.
• In $x=1$: i due limiti laterali valgono entrambi $1$, ma con versi opposti — da sinistra $1^+$ (dall’alto), da destra $1^-$ (dal basso). La funzione attraversa il valore $1$ senza formare un salto: i due rami si “incrociano” continuando a passare vicino a $y=1$.
• $\lim_{x\to+\infty}g(x)=2^-$: asintoto orizzontale destro $y=2$, avvicinato dal basso.

$\boxed{\text{asintoti } x=-3\ (\text{ramo destro}),\ y=2}$

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Asintoto · Limite
Competenze: Studiare funzione
Tipo di esercizio: Disegno grafico