Grafico da condizioni sui limiti (asintoti e salti)

Testo

Disegna il grafico di una funzione $f(x)$ che soddisfi tutte le condizioni: $\lim_{x\to-\infty}f(x)=2^-,\qquad \lim_{x\to-1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to-1^+}f(x)=+\infty,$ $\lim_{x\to0^{\pm}}f(x)=1,\ \ f(0)=3,\qquad \lim_{x\to2^-}f(x)=3^+,\qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=-1^-,$ $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.$

Soluzione

Traduciamo ogni condizione in una caratteristica del grafico.

• $\lim_{x\to-\infty}f(x)=2^-$: asintoto orizzontale sinistro $y=2$, avvicinato dal basso.
• $\lim_{x\to-1^-}f(x)=-\infty$ e $\lim_{x\to-1^+}f(x)=+\infty$: asintoto verticale $x=-1$, con il ramo sinistro che precipita a $-\infty$ e quello destro che sale a $+\infty$.
• $\lim_{x\to0^{\pm}}f(x)=1$ ma $f(0)=3$: in $x=0$ c’è una discontinuità eliminabile — pallino vuoto in $(0,1)$ (il valore a cui tende la funzione) e pallino pieno in $(0,3)$ (il valore effettivo di $f$).
• $\lim_{x\to2^-}f(x)=3^+$ e $\lim_{x\to2^+}f(x)=-1^-$: salto (discontinuità di prima specie) in $x=2$, dal valore $3$ (da sopra, arrivando da sinistra) al valore $-1$ (da sotto, partendo da destra).
• $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$: a destra il grafico diverge a $+\infty$.

$\boxed{\text{asintoti } y=2,\ x=-1;\ \text{eliminabile in }x=0;\ \text{salto in }x=2}$

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Asintoto · Limite
Competenze: Studiare funzione
Tipo di esercizio: Disegno grafico