Grafico da limiti assegnati

Testo

Disegna il grafico di una funzione $f(x)$ con dominio tutto $\mathbb{R}$ (a parte eventuali singoli punti esclusi) che soddisfi tutte le condizioni seguenti: $\lim_{x\to3^-}f=3^+,\qquad \lim_{x\to3^+}f=-\infty,$ $\lim_{x\to-3^-}f=-2^+,\qquad \lim_{x\to-3^+}f=4^-,$ $\lim_{x\to-\infty}f=+\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}f=-4^-.$

Soluzione

Traduciamo ogni condizione in una caratteristica del grafico.

• $\lim_{x\to3^+}f=-\infty$: in $x=3$ c’è un asintoto verticale (avvicinandosi da destra il grafico scende a $-\infty$); da sinistra invece $\lim_{x\to3^-}f=3^+$, quindi il ramo di sinistra arriva vicino all’ordinata $3$ (dall’alto).
• In $x=-3$ i due limiti laterali sono finiti ma diversi: $-2^+$ da sinistra e $4^-$ da destra. C’è un salto (discontinuità di prima specie) fra $y=-2$ e $y=4$.
• $\lim_{x\to+\infty}f=-4^-$: asintoto orizzontale $y=-4$ per $x\to+\infty$, avvicinato dal basso.
• $\lim_{x\to-\infty}f=+\infty$: a sinistra il ramo sale verso $+\infty$.

Un grafico coerente (schizzo qualitativo):

$\boxed{\text{As. verticale } x=3;\ \text{salto in } x=-3\ (-2\to4);\ \text{as. orizzontale } y=-4;\ \text{ramo a }+\infty\text{ per }x\to-\infty}$

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Asintoto · Limite
Competenze: Studiare funzione
Tipo di esercizio: Disegno grafico