Deprezzamento di un'automobile

Testo

Un’automobile vale $24\,000$ € e ogni anno perde il $15\%$ del valore che aveva l’anno precedente.

• (a) Quanto vale dopo $5$ anni?
• (b) Dopo quanti anni il valore scende sotto i $10\,000$ €?

Soluzione

Ogni anno il valore si moltiplica per $0{,}85$: è una progressione geometrica $V_n=24\,000\cdot 0{,}85^{\,n}$. (a) $V_5=24\,000\cdot 0{,}85^{5}\approx 24\,000\cdot 0{,}4437\approx 10\,648{,}93\ \text{€}.$ (b) Impongo $24\,000\cdot 0{,}85^{\,n}<10\,000$, cioè $0{,}85^{\,n}<0{,}4167$; passando ai logaritmi, $n>\frac{\ln 0{,}4167}{\ln 0{,}85}\approx 5{,}39,$ quindi il primo anno intero utile è $n=6$ (allora $V_6\approx 9052\ \text{€}$). $\boxed{\,V_5\approx 10\,648{,}93\ \text{€},\quad n=6\ \text{anni}\,}$

Collegamenti

Argomenti: Successioni
Concetti: Decadimento esponenziale · Progressione geometrica
Competenze: Modellizzare · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione