Posizione reciproca di due rette

Testo

Date $r_1:(1+t;\; 2-t;\; t)$ e $r_2:(1+2s;\; -1+s;\; 3+s)$, stabilire se sono parallele, incidenti o sghembe. Se sono sghembe, calcolarne la distanza.

Soluzione

Punti e direzioni: $A(1;2;0)$, $\vec v_1=(1;-1;1)$; $B(1;-1;3)$, $\vec v_2=(2;1;1)$.

Parallelismo. $\tfrac{1}{2}\ne\tfrac{-1}{1}$: non paralleli.

Sistema $A+\vec v_1 t = B+\vec v_2 s$: $\begin{cases}1+t=1+2s\\2-t=-1+s\\t=3+s\end{cases}$ Dalla prima $t=2s$; dalla seconda $3-t=s$, cioè $3-2s=s\Rightarrow s=1,\ t=2$. Verifica sulla terza: $t=3+s\Rightarrow 2=4$, falso. Le rette sono sghembe.

Distanza. $\vec{AB}=(0;-3;3)$ e $\vec v_1\times\vec v_2 = (-1\cdot 1-1\cdot 1,\; 1\cdot 2-1\cdot 1,\; 1\cdot 1-(-1)\cdot 2) = (-2;1;3),$ $|\vec v_1\times\vec v_2|=\sqrt{14}$, $\;\vec{AB}\cdot(\vec v_1\times\vec v_2)=0-3+9=6$. Dunque $d = \frac{|6|}{\sqrt{14}} = \frac{3\sqrt{14}}{7}\approx \boxed{1{,}60}.$

Collegamenti

Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Distanza rette sghembe · Prodotto misto · Retta · Retta nello spazio · Rette sghembe
Competenze: Geometria analitica · Ragionare per casi · Risolvere sistemi
Tipo di esercizio: Problema geometrico