Retta e piano intersecante con sezione sferica

Testo

Data la retta $r:\ x=1+2t,\ y=2+3t,\ z=-1-t$ e il piano $\pi:\ x-2y+3z+4=0$.

(a) Verifica che $r$ interseca $\pi$.

(b) Determina il punto di intersezione.

(c) Determina l’angolo che $r$ forma con $\pi$.

(d) Calcola la distanza di $P(3,1,2)$ da $\pi$.

(e) Scrivi le equazioni parametriche della retta per $P$ perpendicolare a $\pi$.

(f) Determina il raggio del cerchio sezione della sfera $x^2+y^2+z^2+x+y+z-16=0$ tagliata da $\pi$.

(g) Determina volume e superficie di quella sfera.

Soluzione

(a) Sostituendo le equazioni parametriche di $r$ nell’equazione di $\pi$: $(1+2t)-2(2+3t)+3(-1-t)+4=-2-7t=0\Rightarrow t=-\tfrac27$ (soluzione unica), dunque $r$ interseca $\pi$ in un solo punto.

(b) Sostituendo $t=-\tfrac27$ nelle equazioni di $r$ si ottiene $I=\left(\tfrac37,\tfrac87,-\tfrac57\right)\approx(0{,}43;\,1{,}14;\,-0{,}71)$.

(c) Il vettore direttore di $r$ è $\vec d=(2,3,-1)$ e il vettore normale di $\pi$ è $\vec n=(1,-2,3)$: $\sin\theta=\dfrac{|\vec d\cdot\vec n|}{|\vec d|\,|\vec n|}=\dfrac{7}{14}=\tfrac12\Rightarrow\theta=30°$.

(d) $d(P,\pi)=\dfrac{|3-2+6+4|}{\sqrt{14}}=\dfrac{11}{\sqrt{14}}\approx2{,}940$.

(e) La retta per $P$ perpendicolare a $\pi$ ha come direzione il vettore normale $\vec n=(1,-2,3)$: $x=3+t,\ y=1-2t,\ z=2+3t$.

(f) La sfera ha centro $C=\left(-\tfrac12,-\tfrac12,-\tfrac12\right)$ e raggio $R=\sqrt{16{,}75}\approx4{,}093$. La distanza del centro dal piano è $d(C,\pi)=\dfrac{3}{\sqrt{14}}\approx0{,}802$, quindi il raggio della sezione è $\rho_{\text{sez}}=\sqrt{R^2-d^2}\approx4{,}013$.

(g) Volume e superficie della sfera: $V=\tfrac43\pi R^3\approx287{,}15$ e $S=4\pi R^2\approx210{,}49$. $\boxed{t=-\tfrac27;\ I\left(\tfrac37,\tfrac87,-\tfrac57\right);\ \theta=30°;\ d_P\approx2{,}94;\ \rho_{\text{sez}}\approx4{,}01;\ V\approx287{,}15;\ S\approx210{,}49}$

Collegamenti

Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Angolo retta piano · Distanza punto piano · Piano · Piano cartesiano · Retta · Sfera
Competenze: Geometria analitica · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico