Piani, retta e sfera nello spazio

Testo

Sono dati: il piano $\mu:\,-4x+2z+12=0$; il piano $\eta$ per $A(-6,-4,-6)$, $B(3,0,1)$, $C(-4,-1,-1)$; la sfera $\varepsilon:\,2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+16z-17=0$. a) Determina l’equazione di $\eta$ e l’angolo tra $\mu$ ed $\eta$. b) Determina la retta intersezione $\mu\cap\eta$. c) Determina centro e raggio della sfera. d) Determina il raggio della circonferenza $\mu\cap\varepsilon$ e i piani paralleli a $\mu$ tangenti alla sfera.

Soluzione

a) Normale di $\eta$: $\vec{AB}\times\vec{AC}=(9,4,7)\times(2,3,5)=(-1,-31,19)$, quindi $\eta:\,-x-31y+19z-16=0$. Con $\vec{n}_\mu=(-4,0,2)$: $\cos\alpha=\dfrac{|42|}{\sqrt{20}\,\sqrt{1323}}\approx0{,}258\Rightarrow\alpha\approx75{,}04^\circ$. b) Da $\mu$: $z=2x-6$; ponendo $z=t$: $x=\tfrac{t}{2}+3$, $y=\tfrac{37t}{62}-\tfrac{19}{31}$, $z=t$. c) Dividendo per $2$: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+8z-\tfrac{17}{2}=0\Rightarrow x^{2}+y^{2}+(z+4)^{2}=\tfrac{17}{2}+16=\tfrac{49}{2}$. Centro $C_\varepsilon=(0,0,-4)$, raggio $R=\sqrt{24{,}5}\approx4{,}95$. (La soluzione del compito indicava $R=7$: è errata per questa versione — il termine noto $-17$ dà $R^{2}=24{,}5$, non $49$.) d) $d(C_\varepsilon,\mu)=\dfrac{|2(-4)+12|}{\sqrt{20}}=\dfrac{4}{\sqrt{20}}\approx0{,}894$, quindi $r=\sqrt{R^{2}-d^{2}}=\sqrt{24{,}5-0{,}8}\approx4{,}87$. Piani tangenti $-4x+2z+k=0$ con $\dfrac{|k-8|}{\sqrt{20}}=R\Rightarrow k=8\pm\sqrt{490}$, cioè $k\approx30{,}1$ o $k\approx-14{,}1$. $\boxed{\,\eta:-x-31y+19z-16=0,\ \ \alpha\approx75{,}04^\circ,\ \ C_\varepsilon(0,0,-4),\ R\approx4{,}95,\ r\approx4{,}87\,}$

Collegamenti

Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Angolo tra piani · Distanza punto piano · Piano · Piano cartesiano · Piano tangente · Retta · Retta nello spazio · Sfera
Competenze: Geometria analitica · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico