Operazioni con due numeri complessi

Testo

Siano $z=2+3i$ e $w=1-i$.

(a) Calcola $z+w$ e $z\cdot w$.

(b) Calcola $z/w$ in forma algebrica.

(c) Calcola $|z|$ e $|w|$.

(d) Determina $\bar z$ e $1/z$.

(e) Rappresenta sul piano di Gauss i vettori $z$, $w$, $\bar z$ e $z+w$.

Soluzione

(a) Sommando parte reale e parte immaginaria si ottiene $z+w=3+2i$. Per il prodotto si applica la proprietà distributiva ricordando che $i^2=-1$: $z\cdot w=(2+3i)(1-i)=2-2i+3i-3i^2=5+i.$

(b) Si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato di $w$, cioè $1+i$: $\frac zw=\frac{(2+3i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{-1+5i}{2}=-\frac12+\frac52 i.$

(c) I moduli si calcolano come radice della somma dei quadrati di parte reale e immaginaria: $|z|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\approx3{,}606,\qquad |w|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2\approx1{,}414.$

(d) Il coniugato si ottiene cambiando segno alla parte immaginaria: $\bar z=2-3i$. Il reciproco si calcola come $\frac1z=\frac{\bar z}{|z|^2}=\frac{2-3i}{13}=\frac2{13}-\frac3{13}i.$

(e) Nel piano di Gauss i vettori hanno come punti immagine $z=(2,3)$, $w=(1,-1)$, $\bar z=(2,-3)$ e $z+w=(3,2)$: quattro frecce spiccate dall’origine verso questi punti.

$\boxed{z+w=3+2i,\quad zw=5+i,\quad \frac zw=-\frac12+\frac52 i,\quad |z|=\sqrt{13},\quad |w|=\sqrt2,\quad \bar z=2-3i,\quad \frac1z=\frac{2-3i}{13}}$

Collegamenti

Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Coniugato · Forma cartesiana · Modulo · Piano cartesiano
Metodi: Numeri complessi cartesiana
Competenze: Calcolare · Usare formule
Tipo di esercizio: Calcolo espressioni