Numeri complessi

I numeri reali, pur formando un insieme immenso, non bastano a risolvere tutte le equazioni polinomiali: già $x^2+1=0$ non ha soluzioni reali, perché $x^2\ge 0$ per ogni $x\in\mathbb{R}$. Nel Cinquecento i matematici italiani — Cardano e Bombelli — iniziarono a “fingere” di avere un numero $i$ con $i^2=-1$ per risolvere le equazioni cubiche anche nei casi “irriducibili”. Quello che sembrava un trucco algebrico, inizialmente giudicato immaginario o impossibile, si rivelò nei secoli successivi una delle idee più feconde della matematica. I numeri complessi sono la chiusura naturale dei reali rispetto alle equazioni polinomiali e aprono la porta verso l’analisi della Quinta e verso la fisica dell’elettromagnetismo e della meccanica quantistica.

Il capitolo introduce la forma cartesiana $z=a+ib$ con le sue operazioni, il modulo e il coniugato, la rappresentazione geometrica nel piano di Argand-Gauss, le forme trigonometrica ed esponenziale con la formula di De Moivre, le radici $n$-esime e il teorema fondamentale dell’algebra, fino alle relazioni di Vieta generalizzate.

Sezioni

• Definizione e forma cartesiana
• Il piano di Argand-Gauss
• Forma trigonometrica e polare esponenziale
• Radici n-esime
• Teorema fondamentale dell’algebra

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo