Numeri complessi

I numeri reali, pur formando un insieme immenso, non bastano a risolvere tutte le equazioni polinomiali: già $x^2+1=0$ non ha soluzioni reali, perché $x^2\ge 0$ per ogni $x\in\mathbb{R}$. Nel Cinquecento i matematici italiani — Cardano e Bombelli — iniziarono a “fingere” di avere un numero $i$ con $i^2=-1$ per risolvere le equazioni cubiche anche nei casi “irriducibili”. Quello che sembrava un trucco algebrico, inizialmente giudicato immaginario o impossibile, si rivelò nei secoli successivi una delle idee più feconde della matematica. I numeri complessi sono la chiusura naturale dei reali rispetto alle equazioni polinomiali e aprono la porta verso l’analisi della Quinta e verso la fisica dell’elettromagnetismo e della meccanica quantistica.

Il capitolo introduce la forma cartesiana $z=a+ib$ con le sue operazioni, il modulo e il coniugato, la rappresentazione geometrica nel piano di Argand-Gauss, le forme trigonometrica ed esponenziale con la formula di De Moivre, le radici $n$-esime e il teorema fondamentale dell’algebra, fino alle relazioni di Vieta generalizzate.

Sezioni

• Definizione e forma cartesiana
• Il piano di Argand-Gauss
• Forma trigonometrica e polare esponenziale
• Radici n-esime
• Teorema fondamentale dell’algebra

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

The real numbers, although they form an immense set, are not enough to solve every polynomial equation: already $x^2+1=0$ has no real solutions, because $x^2\ge 0$ for every $x\in\mathbb{R}$. In the sixteenth century the Italian mathematicians — Cardano and Bombelli — began to “pretend” to have a number $i$ with $i^2=-1$ in order to solve cubic equations even in the “irreducible” cases. What seemed an algebraic trick, at first judged imaginary or impossible, proved over the following centuries to be one of the most fruitful ideas in mathematics. The complex numbers are the natural closure of the reals with respect to polynomial equations and open the door to the analysis of the fifth year and to the physics of electromagnetism and quantum mechanics.

The chapter introduces the Cartesian form $z=a+ib$ with its operations, the modulus and the conjugate, the geometric representation in the Argand-Gauss plane, the trigonometric and exponential forms with De Moivre’s formula, the $n$-th roots and the fundamental theorem of algebra, up to the generalised Vieta’s relations.

Sections

• Definition and Cartesian form
• The Argand-Gauss plane
• Trigonometric and polar exponential form
• nth roots
• Fundamental theorem of algebra

Exercises

• All the worked exercises of the chapter

Un numero complesso $z=a+ib$ si rappresenta geometricamente come il punto $(a;b)$ del piano cartesiano, detto in questo contesto piano di Argand-Gauss. L’asse $x$ diventa l’asse dei reali, l’asse $y$ l’asse degli immaginari.

Il numero $z=a+ib$ come punto del piano: modulo $|z|=\rho$, argomento $\theta$, e il coniugato $\bar z$ simmetrico rispetto all’asse reale.

Il coniugato $\bar z$ corrisponde al punto simmetrico rispetto all’asse reale. Il modulo $|z|$ è la distanza dall’origine.

Collegamenti

Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Coniugato · Modulo · Piano di argand gauss
Competenze: Interpretare grafico
Persone: Argand · Carl Friedrich Gauss

A complex number $z=a+ib$ is represented geometrically as the point $(a;b)$ of the Cartesian plane, called in this context the Argand-Gauss plane. The $x$ axis becomes the real axis, the $y$ axis the imaginary axis.

The number $z=a+ib$ as a point of the plane: modulus $|z|=\rho$, argument $\theta$, and the conjugate $\bar z$ symmetric with respect to the real axis.

The conjugate $\bar z$ corresponds to the point symmetric with respect to the real axis. The modulus $|z|$ is the distance from the origin.

Links

Topics: Complex numbers
Concepts: Conjugate · Modulus · Argand-Gauss plane
Skills: Interpret a graph
People: Argand · Carl Friedrich Gauss