Operazioni e trasformazione con due numeri complessi

Testo

Siano $z_1=-3-2i$ e $z_2=4+6i$. a) Esprimili in forma cartesiana, trigonometrica ed esponenziale. b) Calcola $\bar z_1 z_2$ e $\dfrac{\bar z_1}{z_2}$. c) Scrivi la funzione complessa $f(z)$ che trasla di $3$ verso il basso, poi di $3$ verso destra, poi ruota di $\dfrac{\pi}{3}$ in senso orario.

Soluzione

a) $|z_1|=\sqrt{13}$, $\arg z_1\approx213{,}7^\circ$: $z_1=\sqrt{13}\,(\cos213{,}7^\circ+i\sin213{,}7^\circ)=\sqrt{13}\,e^{i\,3{,}729}$. $|z_2|=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$, $\arg z_2\approx56{,}31^\circ$: $z_2=2\sqrt{13}\,e^{i\,0{,}983}$. b) $\bar z_1=-3+2i$, quindi $\bar z_1 z_2=(-3+2i)(4+6i)=-24-10i$; $\;\dfrac{\bar z_1}{z_2}=\dfrac{(-3+2i)(4-6i)}{16+36}=\dfrac{26i}{52}=\dfrac12 i$. c) Traslazione in basso: $z-3i$; a destra: $z+3-3i$; rotazione oraria di $\tfrac{\pi}{3}$: moltiplicazione per $e^{-i\pi/3}$: $f(z)=e^{-i\pi/3}\,(z+3-3i).$ $\boxed{\,\bar z_1 z_2=-24-10i,\quad \dfrac{\bar z_1}{z_2}=\tfrac12 i,\quad f(z)=e^{-i\pi/3}(z+3-3i)\,}$

Collegamenti

Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Coniugato · Forma cartesiana · Forma esponenziale · Forma trigonometrica · Piano cartesiano · Trasformazioni geometriche
Competenze: Calcolare · Usare formule
Tipo di esercizio: Calcolo espressioni