Almeno un multiplo di 3 in cinque lanci di dado

Testo

Si lancia $5$ volte un dado equilibrato. Giovanni scommette $200$ euro sull’uscita di un numero divisibile per $3$ almeno una volta.

(a) Calcola la probabilità di vittoria.

(b) Se la quota è $1{,}1$, è equa, vantaggiosa o svantaggiosa per il banco?

Soluzione

(a) I numeri divisibili per $3$ sul dado sono $3$ e $6$, quindi $P(\text{mult. di }3)=\dfrac{2}{6}=\dfrac13$ e $P(\text{non mult. di }3)=\dfrac23$. Con $5$ lanci indipendenti, $P(\text{mai}) = \left(\frac23\right)^5 = \frac{32}{243}$ quindi $P(\text{almeno una}) = 1 - \frac{32}{243} = \frac{211}{243} \approx 0{,}868$

(b) La quota equa (che rende il gioco equo) è $q_e = \dfrac{1}{0{,}868} \approx 1{,}152$. Poiché la quota proposta $1{,}1$ è minore di $1{,}152$, il giocatore riceve meno di quanto sarebbe equo: la quota è svantaggiosa per il giocatore (vantaggiosa per il banco).

$\boxed{P\approx0{,}868;\ \text{quota }1{,}1\text{ favorevole al banco}}$

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Eventi indipendenti · Evento complementare · Gioco equo · Prove ripetute · Valore atteso
Metodi: Complementare prob · Valore atteso
Competenze: Calcolo probabilita
Tipo di esercizio: Problema probabilita