Alberi Bayes e correlazione in una scommessa elettorale

Testo

$P(\text{Ortega})=0{,}7$, $P(\text{tasse})=0{,}6$, $P(\text{tasse}\mid\text{Ortega})=0{,}8$. Inoltre $P(\text{insurrezione}\mid\text{Ortega, tasse})=0{,}6$, $P(\text{insurrezione}\mid\text{Gonzalez, tasse})=0{,}8$; senza aumento delle tasse la popolazione non insorge.

(a) Costruisci l’albero elezione/tasse/insurrezione e calcola la probabilità totale di insurrezione.

(b) Disegna un diagramma di Venn dei due eventi «Ortega» e «tasse».

(c) Calcola $P(\text{Ortega}\mid\text{tasse})$.

(d) I due eventi sono correlati positivamente o negativamente?

(e) La vittoria di Ortega è quotata $1{,}2$: calcola la vincita media di Debbie che scommette $200\,000$ peso su Ortega.

(f) Come va modificata la quota perché il bookmaker abbia un margine del $2\%$?

Soluzione

Dai dati: $P(\text{Ortega}\cap\text{tasse})=0{,}7\cdot0{,}8=0{,}56$, quindi $P(\text{Gonzalez}\cap\text{tasse})=0{,}6-0{,}56=0{,}04$.

(a) Poiché senza aumento delle tasse non c’è insurrezione, la probabilità totale è $P(\text{insurrezione}) = 0{,}56\cdot0{,}6 + 0{,}04\cdot0{,}8 = 0{,}368$

(b) Il diagramma di Venn mostra i due cerchi «Ortega» ($0{,}7$) e «tasse» ($0{,}6$) con intersezione $0{,}56$.

(c) $P(\text{Ortega}\mid\text{tasse}) = \frac{0{,}56}{0{,}6} \approx 0{,}933$

(d) Confrontando con l’indipendenza: $P(\text{Ortega})\cdot P(\text{tasse}) = 0{,}7\cdot0{,}6 = 0{,}42 < 0{,}56 = P(\text{Ortega}\cap\text{tasse})$, quindi i due eventi sono correlati positivamente.

(e) Con quota $1{,}2$: se Ortega vince (probabilità $0{,}7$) Debbie ottiene un utile netto di $200\,000\cdot(1{,}2-1)=+40\,000$ peso; se perde (probabilità $0{,}3$) perde i $200\,000$ scommessi. La vincita media è $0{,}7\cdot40\,000 - 0{,}3\cdot200\,000 = 28\,000 - 60\,000 = -32\,000 \text{ peso}$

(f) La quota equa (gioco equo, vincita media nulla) è $q_e = \dfrac{1}{0{,}7} \approx 1{,}429$. Per garantire al bookmaker un margine del $2\%$ la quota va ridotta: $q = \frac{1{,}429}{1{,}02} \approx 1{,}40$

$\boxed{P(\text{ins})=0{,}368;\ P(O\mid t)\approx0{,}933;\ \text{corr. positiva};\ \overline{\text{vincita}}=-32\,000;\ q\approx1{,}40}$

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Correlazione · Diagramma albero · Diagramma di venn · Gioco equo · Probabilita condizionata · Probabilita totale · Valore atteso
Metodi: Diagramma albero · Prob totale · Valore atteso
Competenze: Calcolo probabilita
Tipo di esercizio: Problema probabilita