Estrazioni di palline, combinatoria e Bayes

Testo

Una scatola contiene $6$ palline blu e $4$ rosse; se ne estraggono $4$. a) (Estrazione simultanea) Probabilità che almeno una sia blu; che siano tutte rosse; che $2$ siano rosse e $2$ blu. c) (Una alla volta, senza reimmissione) Probabilità di estrarre $1$ blu seguita da $3$ rosse. e) (Una alla volta, con reimmissione) Probabilità che la $1^\text{a}$ sia blu e la $3^\text{a}$ rossa. f) Una scatola $B$ contiene $6$ rosse e $4$ blu. Si sceglie la scatola $A$ con probabilità $0{,}86$, altrimenti la $B$, e si estrae una pallina, che risulta blu. Qual è la probabilità che venisse dalla scatola $A$?

Soluzione

a) $P(\text{tutte rosse})=\dfrac{\binom{4}{4}}{\binom{10}{4}}=\dfrac{1}{210}\approx0{,}0048$, quindi $P(\ge1\text{ blu})=1-\dfrac{1}{210}=\dfrac{209}{210}\approx0{,}9952$. $\;P(2R,2B)=\dfrac{\binom{4}{2}\binom{6}{2}}{\binom{10}{4}}=\dfrac{6\cdot15}{210}=\dfrac{3}{7}\approx0{,}4286$. c) $\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{4}{9}\cdot\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{2}{7}=\dfrac{1}{35}\approx0{,}0286$. e) Con reimmissione le estrazioni sono indipendenti: $\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{4}{10}=0{,}24$. f) Bayes con $P(B\mid A)=0{,}6$, $P(B\mid \text{scatola }B)=0{,}4$: $P(A\mid B)=\dfrac{0{,}86\cdot0{,}6}{0{,}86\cdot0{,}6+0{,}14\cdot0{,}4}=\dfrac{0{,}516}{0{,}572}\approx0{,}9021$. $\boxed{\,a)\ 0{,}9952;\ \tfrac{1}{210};\ 0{,}4286\quad c)\ \tfrac{1}{35}\quad e)\ 0{,}24\quad f)\ 0{,}9021\,}$

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Eventi indipendenti · Probabilita classica · Probabilita condizionata · Teorema di bayes
Metodi: Calcolo combinatorio
Competenze: Calcolo combinatorio · Calcolo probabilita
Tipo di esercizio: Problema probabilita