Problema — Variante Monty Fall

Testo

Variante Monty Fall: il conduttore inciampa e apre una porta a caso (non sa dove sia il premio). Mostra che, condizionando su «ha aperto una porta con la capra», tornare a $50$–$50$ è in effetti la risposta corretta. Suggerimento: ricalcola $P(B\mid A_i)$ come uniforme su $\{2,3\}$.

Soluzione

Impostazione. La differenza chiave con il Monty Hall classico è che qui il conduttore apre una porta a caso senza evitare il premio. Sia $A_i$ l’evento «il premio è dietro la porta $i$» e $B$ l’evento «il conduttore apre una porta con la capra». Nel Monty Hall classico il conduttore sceglie apposta una capra, quindi $P(B\mid A_i)$ non è uniforme e nasce l’asimmetria $1/3$–$2/3$. Nel Monty Fall, aprendo a caso, $P(B\mid A_i)$ è la stessa per tutte le configurazioni compatibili: applicando Bayes, $P(A_i\mid B) = \frac{P(B\mid A_i)P(A_i)}{P(B)},$ le due porte ancora chiuse risultano equiprobabili. Concludi che, condizionando sull’aver visto una capra, la probabilità è $1/2$–$1/2$: cambiare non conviene più. Svolgi i conti confrontandoli con il caso classico.

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Paradosso di monty hall · Probabilita condizionata
Metodi: Bayes · Prob condizionata
Competenze: Calcolo probabilita · Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Problema probabilita