Variante di pari o dispari

Testo

Variante di pari o dispari: se la somma dei numeri mostrati è pari, G1 vince $2$ EUR; se è dispari, G2 vince $1$ EUR. È un gioco a somma zero? Qual è la strategia mista ottima di G1?

Soluzione

Il gioco non è a somma zero: i due esiti hanno payoff di valore diverso ($+2$ EUR per G1 contro $+1$ EUR per G2), quindi la vincita di uno non è l’opposto esatto della perdita dell’altro. Indichiamo con $p$ la probabilità che G1 giochi «pari» e con $q$ quella che G2 giochi «pari». La somma è pari quando entrambi giocano pari o entrambi dispari. La vincita attesa di G1 è $\bar V_1(p,q) = 2\bigl[pq + (1-p)(1-q)\bigr] - \bigl[p(1-q) + (1-p)q\bigr].$ Cercando la strategia di G1 che rende $\bar V_1$ indipendente dalla scelta $q$ dell’avversario (impostazione di min-max), si ottiene $\boxed{p = \tfrac{1}{3}}$ mentre la corrispondente strategia di G2 risulta $q = \tfrac{2}{3}$. Conviene verificare i conti sostituendo questi valori.

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Gioco a somma zero · Strategia mista
Competenze: Calcolo probabilita · Modellizzare
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione