Esempio — Strega e Gigante

Un gioco fantasy a due giocatori: fissata la strategia mista di uno, si cerca la risposta ottima dell’altro calcolando la sua vincita attesa in funzione della probabilità di gioco.

Esempio — Strega/Gigante vs Cavaliere/Drago

Giocatore 1 sceglie Strega (S) o Gigante (G); Giocatore 2 sceglie Cavaliere (C) o Drago (D). Le giocate sono indipendenti (entrambi giocano in cieco). La matrice di payoff $(v_1; v_2)$ è:

G1 / G2	Cavaliere	Drago
Strega	$(1; -2)$	$(-2; 3)$
Gigante	$(3; -1)$	$(-3; -3)$

Supponi che G1 abbia già fissato la strategia mista $P(S)=1/3$, $P(G)=2/3$. Trova la strategia ottima di G2 (parametro $p=P(C)$, $1-p=P(D)$).

Probabilità congiunte (giocate indipendenti): $P(S,C)=\tfrac{1}{3}p,\quad P(S,D)=\tfrac{1}{3}(1-p),\quad P(G,C)=\tfrac{2}{3}p,\quad P(G,D)=\tfrac{2}{3}(1-p).$

Vincita media di G2 (somma sui quattro profili dei payoff $v_2$ per le rispettive probabilità):

\bar V_2(p) &= (-2)\cdot\tfrac{1}{3}p + 3\cdot\tfrac{1}{3}(1-p) + (-1)\cdot\tfrac{2}{3}p + (-3)\cdot\tfrac{2}{3}(1-p) \\ &= -\tfrac{2}{3}p + 1 - p -\tfrac{2}{3}p - 2(1-p) \\ &= -\tfrac{7}{3}p + 1 - 2 + 2p \\ &= \tfrac{-7+6}{3}p - 1 \\ &= -1 - \tfrac{p}{3}. \end{align*}$$ **Conclusione (retta calante in $p$).** $\bar V_2(p)=-1-p/3$ è *decrescente* in $p$: G2 minimizza la propria perdita scegliendo $p=0$, cioè *sempre Drago*. La vincita ottima di G2 vale $\bar V_2(0)=-1$ (paga sempre $1$ EUR in media).

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Argomenti: Probabilita
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