Percorsi sul raccordo anulare

Testo

L’ospedale (punto $A$) sta sul raccordo anulare di raggio $3$ km, a un angolo di $70°$ rispetto all’asse $x$ (centro nell’origine). Il commissariato (punto $B$) sta sullo stesso raccordo, a un angolo di $-30°$. Determina la lunghezza dei percorsi da $A$ a $B$:

• percorso 1: da $A$ a $B$ in linea retta;
• percorso 2: da $A$ a $B$ lungo il raccordo anulare;
• percorso 3: da $A$ al centro, e dal centro a $B$;
• percorso 4: prima lungo l’asse $y$, poi lungo l’asse $x$.

Soluzione

Coordinate dei due punti sulla circonferenza di raggio $3$: $A=(3\cos 70°,\,3\sin 70°)\approx(1{,}026;\,2{,}819),\qquad B=(3\cos(-30°),\,3\sin(-30°))\approx(2{,}598;\,-1{,}5).$ L’angolo al centro tra $A$ e $B$ è $\Delta\theta=70°-(-30°)=100°$.

Percorso 1 (corda). Con la formula della corda $\ell=2R\sin\dfrac{\Delta\theta}{2}$: $p_1=2\cdot 3\cdot\sin 50°\approx 4{,}60\ \text{km}.$

Percorso 2 (arco). $p_2=R\,\Delta\theta_{\text{rad}}=3\cdot\dfrac{100\pi}{180}\approx 5{,}24\ \text{km}.$

Percorso 3 (per il centro). Sono due raggi: $p_3=R+R=3+3=6\ \text{km}.$

Percorso 4 (lungo gli assi). È il cammino “a scaletta”: $p_4=|x_A-x_B|+|y_A-y_B|\approx 1{,}572+4{,}319\approx 5{,}89\ \text{km}.$

$\boxed{p_1\approx 4{,}60;\quad p_2\approx 5{,}24;\quad p_3=6;\quad p_4\approx 5{,}89\ \ (\text{km})}$

Collegamenti

Argomenti: Trigonometria triangoli
Concetti: Circonferenza goniometrica · Lunghezza arco
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Calcolare · Modellizzare · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico