Distanze su una circonvallazione circolare (Treegville)

Testo

La circonvallazione di Treegville è un anello circolare di raggio $5$ km centrato nell’origine $O$; Dustin Drive è l’asse $x$ positivo (direzione est), Cupert Road l’asse $y$ positivo (direzione nord). Jack vive nel punto in cui la circonvallazione incontra Morton Street, che da $O$ parte in direzione $\dfrac56\pi$ rispetto a Dustin Drive. Janet vive nel punto $(3;-4)$ della circonvallazione; Astrid Avenue congiunge in linea retta la sua casa al centro $O$.

(a) Determina l’angolo tra Astrid Avenue e Morton Street.

(b) Determina la lunghezza del percorso da casa di Janet a casa di Jack seguendo la circonvallazione.

(c) Determina la lunghezza dello stesso percorso in linea d’aria.

(d) Determina la lunghezza del percorso seguendo vie parallele a Dustin Drive o a Cupert Road.

Soluzione

Jack si trova sull’anello all’angolo $\dfrac56\pi=150°$: $J=(5\cos150°,\,5\sin150°)\approx(-4{,}33;\,2{,}5)$. Janet è nel punto $(3;-4)$, che è effettivamente sulla circonferenza poiché $3^2+4^2=25$; l’angolo del suo raggio è $\theta_J=\operatorname{atan2}(-4,3)\approx-53{,}13°$.

(a) L’angolo tra le semirette $O$–Janet ($-53{,}13°$) e $O$–Jack ($150°$) è $150°-(-53{,}13°)=203{,}13°$; l’angolo convesso (il minore dei due) è $360°-203{,}13°\approx156{,}87°$.

(b) L’angolo al centro tra i due punti è $\approx156{,}87°=2{,}738$ rad; la lunghezza dell’arco è $\ell=r\,\theta=5\cdot2{,}738\approx13{,}69$ km.

(c) La corda tra i due punti misura $\sqrt{(3-(-4{,}33))^2+(-4-2{,}5)^2}=\sqrt{95{,}98}\approx9{,}80$ km.

(d) Il percorso “a scacchiera” (lungo vie parallele agli assi) misura $|\Delta x|+|\Delta y|\approx7{,}33+6{,}5\approx13{,}83$ km.

$\boxed{\text{angolo}\approx156{,}87°;\ \text{arco}\approx13{,}69\text{ km};\ \text{corda}\approx9{,}80\text{ km};\ \text{scacchiera}\approx13{,}83\text{ km}}$

Collegamenti

Argomenti: Trigonometria triangoli
Concetti: Circonferenza goniometrica · Lunghezza arco
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Calcolare · Modellizzare · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico