Caso ambiguo due triangoli da due lati e un angolo

Testo

Un triangolo $ABC$ ha $\overline{AB}=5$, $\overline{BC}=3$ e $\widehat{A}=20°$.

(a) Spiega perché esistono due triangoli possibili e disegnali.

(b) Trova i lati e gli angoli mancanti di entrambi i triangoli.

Soluzione

Il lato $\overline{BC}=a=3$ è opposto a $\widehat{A}=20°$, mentre il lato $\overline{AB}=c=5$ è opposto a $\widehat{C}$. Per il teorema dei seni: $\sin\widehat{C}=\frac{c\sin\widehat{A}}{a}=\frac{5\sin20°}{3}\approx0{,}570.$ Poiché $\sin\widehat{C}<1$ e il lato noto opposto ad $\widehat A$ ($a=3$) è più corto del lato $c=5$, l’angolo $\widehat C$ può essere sia acuto sia ottuso: si tratta del caso ambiguo (SSA), con due soluzioni: $\widehat{C}_1\approx34{,}75°\qquad\text{oppure}\qquad\widehat{C}_2\approx180°-34{,}75°=145{,}25°.$

Triangolo 1. $\widehat{C}_1\approx34{,}75°$, quindi $\widehat{B}_1=180°-\widehat A-\widehat C_1\approx125{,}25°$, e per il teorema dei seni $\overline{AC}=b_1=\dfrac{a\sin\widehat B_1}{\sin\widehat A}\approx7{,}16$.

Triangolo 2. $\widehat{C}_2\approx145{,}25°$, quindi $\widehat{B}_2=180°-\widehat A-\widehat C_2\approx14{,}75°$, e $b_2=\dfrac{a\sin\widehat B_2}{\sin\widehat A}\approx2{,}23$.

$\boxed{\widehat C_1\approx34{,}75°,\ \widehat B_1\approx125{,}25°,\ b_1\approx7{,}16;\quad \widehat C_2\approx145{,}25°,\ \widehat B_2\approx14{,}75°,\ b_2\approx2{,}23}$

Collegamenti

Argomenti: Trigonometria triangoli
Concetti: Caso ambiguo ssa · Teorema dei seni
Funzioni: Seno
Metodi: Triangolo risoluzione
Competenze: Calcolare · Ragionare per casi · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico