Bisezione e duplicazione con coseno negativo

Testo

Sapendo che $\cos\alpha=-\dfrac15$ e $180°<\alpha<270°$, usa le formule goniometriche per trovare $\sin\alpha$, $\cos 2\alpha$ e $\tan\dfrac\alpha2$.

Soluzione

$\alpha$ è nel III quadrante, quindi $\sin\alpha<0$: $\sin\alpha = -\sqrt{1-\frac{1}{25}} = -\frac{2\sqrt6}{5} \approx -0{,}980.$ Dalla formula di duplicazione: $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = -\frac{23}{25} = -0{,}92.$ Poiché $\dfrac\alpha2\in(90°,135°)$, si ha $\tan\dfrac\alpha2<0$; dalla formula di bisezione: $\tan\frac\alpha2 = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{1{,}2}{-0{,}980} \approx -1{,}225.$

$\boxed{\sin\alpha=-\tfrac{2\sqrt6}5,\ \cos2\alpha=-\tfrac{23}{25},\ \tan\tfrac\alpha2\approx-1{,}225}$

Collegamenti

Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Formule di bisezione · Formule di duplicazione
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Metodi: Formule bisezione · Formule duplicazione
Competenze: Calcolare · Usare formule
Tipo di esercizio: Calcolo espressioni