Formule di bisezione da un valore noto

Testo

Sapendo che $\cos\theta=\dfrac{7}{25}$ con $0<\theta<90^\circ$, calcola i valori esatti di $\sin\dfrac{\theta}{2}$, $\cos\dfrac{\theta}{2}$ e $\tan\dfrac{\theta}{2}$.

Soluzione

Poiché $0<\theta<90^\circ$, anche $\theta/2$ è nel primo quadrante e le funzioni sono positive.

$\sin\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{\dfrac{1-\cos\theta}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-\frac{7}{25}}{2}}=\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{3}{5}=0{,}6$.

$\cos\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\frac{7}{25}}{2}}=\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac{4}{5}=0{,}8$.

$\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac{3}{4}=0{,}75$.

$\boxed{\sin\tfrac{\theta}{2}=\tfrac35;\ \cos\tfrac{\theta}{2}=\tfrac45;\ \tan\tfrac{\theta}{2}=\tfrac34}$

Collegamenti

Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Formule di bisezione
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Metodi: Formule bisezione
Competenze: Calcolare · Usare formule
Tipo di esercizio: Calcolo espressioni