Formule di duplicazione e bisezione da un valore noto

Testo

Usa le formule goniometriche (senza calcolare $\alpha$ con la calcolatrice) per rispondere:

(a) $\sin\alpha=\dfrac14$ e $90°<\alpha<180°$: trova $\cos\alpha$, poi $\sin 2\alpha$ e $\cos\dfrac\alpha2$.

(b) $\tan\alpha=\dfrac12$ e $0°<\alpha<180°$: trova $\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\cos\left(\alpha+\dfrac\pi2\right)$, $\sin\left(\alpha-\dfrac\pi3\right)$.

(c) $\cos\alpha=\dfrac13$ e $270°<\alpha<360°$: trova $\sin\dfrac\alpha2$ e $\cos\dfrac\alpha2$.

Soluzione

(a) $\alpha$ è nel II quadrante, quindi $\cos\alpha<0$: $\cos\alpha = -\sqrt{1-\frac{1}{16}} = -\frac{\sqrt{15}}{4} \approx -0{,}968.$ Dalla formula di duplicazione: $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{\sqrt{15}}{8} \approx -0{,}484.$ Poiché $\dfrac\alpha2\in(45°,90°)$, si ha $\cos\dfrac\alpha2>0$; dalla formula di bisezione: $\cos\frac\alpha2 = \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} \approx 0{,}126.$

(b) $\tan\alpha=\dfrac12>0$ con $0°<\alpha<180°$ implica $\alpha$ nel I quadrante: $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt5} \approx 0{,}447, \qquad \cos\alpha = \frac{2}{\sqrt5} \approx 0{,}894.$ Con la formula degli archi associati: $\cos\left(\alpha+\frac\pi2\right) = -\sin\alpha \approx -0{,}447.$ Con la formula di sottrazione: $\sin\left(\alpha-\frac\pi3\right) = \sin\alpha\cos\frac\pi3 - \cos\alpha\sin\frac\pi3 \approx 0{,}447\cdot0{,}5 - 0{,}894\cdot0{,}866 \approx -0{,}551.$

(c) $\alpha$ è nel IV quadrante; poiché $\dfrac\alpha2\in(135°,180°)$, si ha $\sin\dfrac\alpha2>0$ e $\cos\dfrac\alpha2<0$: $\sin\frac\alpha2 = \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac13} \approx 0{,}577,$ $\cos\frac\alpha2 = -\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac23} \approx -0{,}816.$

$\boxed{\cos\alpha=-\tfrac{\sqrt{15}}4,\ \sin2\alpha=-\tfrac{\sqrt{15}}8,\ \cos\tfrac\alpha2\approx0{,}126;\ \ \sin\alpha=\tfrac1{\sqrt5},\ \cos\alpha=\tfrac2{\sqrt5};\ \ \sin\tfrac\alpha2=\tfrac1{\sqrt3},\ \cos\tfrac\alpha2=-\sqrt{\tfrac23}}$

Collegamenti

Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Formule di bisezione · Formule di duplicazione
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Metodi: Formule bisezione · Formule duplicazione
Competenze: Calcolare · Usare formule
Tipo di esercizio: Calcolo espressioni