Traslazione che trasforma seno in coseno

Testo

Sono date le due funzioni $\;y=\sin\!\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)\;$ e $\;y=\cos\!\left(3x+\dfrac{\pi}{2}\right)$. a) Dimostra che la seconda si ottiene traslando la prima di una certa quantità lungo l’asse $x$, e trova tale quantità. b) Spiega l’uguaglianza in termini di archi associati. c) Applica la traslazione trovata alla funzione seno e verifica di ottenere la funzione coseno.

Soluzione

a) Usando $\cos\theta=\sin\!\left(\theta+\tfrac{\pi}{2}\right)$ si ha $\cos\!\left(3x+\tfrac{\pi}{2}\right)=\sin\!\left(3x+\pi\right)$. Traslando la prima di $h$ lungo $x$ si ottiene $\sin\!\left(3(x-h)-\tfrac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(3x-3h-\tfrac{\pi}{4}\right)$. Imponendo $-3h-\tfrac{\pi}{4}=\pi$ si ricava $h=-\frac{5\pi}{12}\approx-1{,}309.$ b) Seno e coseno differiscono per un arco di $\tfrac{\pi}{2}$: $\cos\theta=\sin\!\left(\theta+\tfrac{\pi}{2}\right)$; qui $\cos\!\left(3x+\tfrac{\pi}{2}\right)=\sin\!\left(3x+\pi\right)=-\sin 3x$. c) $\sin\!\left(3\!\left(x+\tfrac{5\pi}{12}\right)-\tfrac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(3x+\pi\right)=\cos\!\left(3x+\tfrac{\pi}{2}\right)$, come richiesto (traslazione di $\tfrac{5\pi}{12}$ verso sinistra). $\boxed{\,h=-\dfrac{5\pi}{12}\approx-1{,}309\,}$

Collegamenti

Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Archi associati · Funzioni goniometriche · Traslazione
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Dimostrare · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico