Linearizzare sin²α cos²α

Testo

Linearizzare (cioè abbassare di grado usando $\sin^2 = \dfrac{1-\cos(2\,\cdot\,)}{2}$) l’espressione $\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Soluzione

Conviene prima riconoscere il prodotto $\sin\alpha\cos\alpha$ come metà di $\sin(2\alpha)$: $\sin^2\alpha\cos^2\alpha = (\sin\alpha\cos\alpha)^2 = \left(\frac{1}{2}\sin(2\alpha)\right)^2 = \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha).$ Ora applichiamo la formula di linearizzazione a $\sin^2(2\alpha) = \dfrac{1-\cos(4\alpha)}{2}$: $\frac{1}{4}\cdot\frac{1-\cos(4\alpha)}{2} = \boxed{\dfrac{1-\cos(4\alpha)}{8}}.$

Collegamenti

Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Formule di duplicazione · Formule di linearizzazione
Funzioni: Coseno · Seno
Metodi: Formule duplicazione
Competenze: Dimostrare · Usare formule
Tipo di esercizio: Calcolo espressioni