Le formule di duplicazione

Che cosa succede quando i due angoli di una formula di addizione sono uguali? Ponendo $\beta = \alpha$ nelle formule di addizione si ottengono le formule di duplicazione, che esprimono i valori goniometrici dell’angolo doppio $2\alpha$.

Proprietà — Formule di duplicazione

Sostituendo $\beta = \alpha$ nelle formule di addizione:

\sin(2\alpha) &= 2\sin\alpha\cos\alpha \\ \cos(2\alpha) &= \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 \\ \tan(2\alpha) &= \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{aligned}$$

Le tre forme di $\cos(2\alpha)$ sono tutte equivalenti (si passa dall’una all’altra usando l’identità fondamentale $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$) e si scelgono in base al contesto: la forma in soli $\sin$ e quella in soli $\cos$ sono particolarmente utili quando si vuole eliminare una delle due funzioni.

Collegamenti

Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Formule di addizione · Formule di duplicazione
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Metodi: Formule duplicazione
Competenze: Dimostrare · Usare formule