Come si ricavano le altre formule

Una volta stabilita la formula per $\cos(\alpha-\beta)$, tutte le altre discendono da essa combinandola con gli archi associati visti nel capitolo precedente.

Coseno di una somma. Basta scrivere $\cos(\alpha+\beta) = \cos\bigl(\alpha - (-\beta)\bigr)$: sostituendo $\beta \to -\beta$ e usando $\cos(-\beta)=\cos\beta$ e $\sin(-\beta)=-\sin\beta$, si ottiene $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta.$

Seno di una somma. Si usa la relazione $\sin\theta = \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2} - \theta\bigr)$: $\sin(\alpha+\beta) = \cos\Bigl(\tfrac{\pi}{2} - \alpha - \beta\Bigr) = \cos\Bigl(\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\bigr) - \beta\Bigr) = \cos\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\Bigr)\cos\beta + \sin\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\Bigr)\sin\beta$ che, usando $\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\bigr)=\sin\alpha$ e $\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\bigr)=\cos\alpha$, diventa $\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$.

Tangente di una somma. La formula per $\tan(\alpha+\beta)$ si ottiene dividendo $\sin(\alpha+\beta)$ per $\cos(\alpha+\beta)$ e poi dividendo numeratore e denominatore per $\cos\alpha\cos\beta$.

Collegamenti

Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Archi associati · Formule di addizione
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Metodi: Formule addizione
Competenze: Dimostrare · Usare formule