Sinusoide, ampiezza, periodo e simmetria

Testo

È data la funzione $y=-1+2\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}x-\dfrac{\pi}{3}\right)$, scritta nella forma $y=a+b\cos(cx+d)$. a) Determina i valori di $a,b,c,d$ e da essi l’asse (valor medio), l’ampiezza e il periodo. b) Mostra che la funzione $y=1-2\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}+\dfrac{2\pi}{3}x\right)$ si ottiene dalla precedente con una simmetria rispetto all’origine.

Soluzione

a) Confrontando: $a=-1$ (asse $y=-1$), $b=2$ (ampiezza $2$), $c=\dfrac{2\pi}{3}$, $d=-\dfrac{\pi}{3}$. Il periodo è $T=\dfrac{2\pi}{c}=\dfrac{2\pi}{2\pi/3}=3$. b) La simmetria rispetto all’origine manda $(x,y)\to(-x,-y)$: la curva simmetrica ha equazione $-y=-1+2\cos\!\left(-\dfrac{2\pi}{3}x-\dfrac{\pi}{3}\right)$, cioè, essendo il coseno pari, $y=1-2\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}x+\dfrac{\pi}{3}\right)$. Poiché $\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}x+\dfrac{5\pi}{6}\right)=\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}x+\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}x+\dfrac{\pi}{3}\right)$, si ottiene proprio $y=1-2\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}+\dfrac{2\pi}{3}x\right)$. $\boxed{\,a=-1,\ b=2,\ c=\tfrac{2\pi}{3},\ d=-\tfrac{\pi}{3}\,;\quad T=3\,}$

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Ampiezza · Archi associati · Funzioni goniometriche · Periodo · Simmetria centrale
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Dimostrare · Interpretare grafico · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico