Disequazione irrazionale

Testo

Risolvi la disequazione: $\sqrt{x^2+1} > |x-1|$

Soluzione

Riconoscere la strategia. Entrambi i membri sono $\ge 0$ (una radice quadrata e un valore assoluto): poiché $t\mapsto t^2$ è crescente su $[0,+\infty)$, possiamo elevare al quadrato conservando il verso, senza sdoppiare in casi. Il radicando $x^2+1$ è sempre positivo, quindi non ci sono condizioni di esistenza da imporre. Elevando al quadrato (ricordando che $|x-1|^2 = (x-1)^2$): $x^2 + 1 > (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$ Semplificando $x^2$ e $1$: $0 > -2x \;\Longrightarrow\; 2x > 0 \;\Longrightarrow\; x > 0$ $\boxed{x > 0}$

Collegamenti

Argomenti: Metodi unificanti
Concetti: Disequazione irrazionale · Funzione monotona · Valore assoluto
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione