Disequazioni con potenze e logaritmi

Testo

Risolvi le seguenti disequazioni, applicando dove utile le proprietà di potenze e logaritmi: $a)\ \frac{4^{-2x}}{3^{-x}}>16\,;\qquad b)\ \big[\log_2 x\big]^{2}\le 16\,;\qquad c)\ \log_2\!\big(x^{2}\big)-\log_{1/2}(x)>3x.$

Soluzione

a) Riscriviamo $4^{-2x}=2^{-4x}=\left(\tfrac{1}{16}\right)^{x}$ e $\dfrac{1}{3^{-x}}=3^{x}$, quindi il primo membro è $\left(\tfrac{1}{16}\right)^{x}3^{x}=\left(\tfrac{3}{16}\right)^{x}$. La disequazione diventa $\left(\tfrac{3}{16}\right)^{x}>16$. Poiché la base $\tfrac{3}{16}<1$ la funzione è decrescente e il verso si inverte: $x<\log_{3/16}16=\frac{\ln 16}{\ln(3/16)}\approx -1{,}66.$ b) Posto $t=\log_2 x$: $t^{2}\le 16\Rightarrow -4\le t\le 4\Rightarrow 2^{-4}\le x\le 2^{4}$, cioè $\tfrac{1}{16}\le x\le 16$. c) Con $x>0$ si ha $\log_2(x^{2})=2\log_2 x$ e $\log_{1/2}x=-\log_2 x$, quindi il primo membro vale $2\log_2 x+\log_2 x=3\log_2 x$. La disequazione diventa $3\log_2 x>3x$, cioè $\log_2 x>x$: impossibile, perché $\log_2 x<x$ per ogni $x>0$. Nessuna soluzione. $\boxed{\,a)\ x<\log_{3/16}16\approx -1{,}66\,;\quad b)\ \tfrac{1}{16}\le x\le 16\,;\quad c)\ \nexists\,x\,}$

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Cambiamento di base · Disequazione esponenziale · Disequazione logaritmica · Proprieta dei logaritmi
Funzioni: Funzione esponenziale · Funzione logaritmica
Competenze: Risolvere disequazioni · Usare formule
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione