Semplificare espressioni con potenze e logaritmi

Testo

Semplifica applicando le proprietà di potenze e logaritmi (il risultato è un valore numerico):

• (a) $\log_a a^5 + \log_b\left(\dfrac{1}{b^3}\right) - \log_c \sqrt{c}$
• (b) $\log_{a^2} a^3 + \log_{1/a} a^4$
• (c) $\dfrac{\log_a (a^3 b^2) \cdot \log_b b^4}{\log_c c^3}$ (con $\log_a b=3$)
• (d) $\left(a^2\right)^{\log_a 2} - c^{\log_c (3) + 1}$
• (e) $\log_a (c^2 b^3)-\log_b(c/a)$ (con $\log_b a=2$ e $\log_c a=3$)

Soluzione

(a) $5+(-3)-\tfrac12=\tfrac32$.

(b) $\log_{a^2}a^3=\tfrac32$ e $\log_{1/a}a^4=-4$, quindi $\tfrac32-4=-\tfrac52$.

(c) $\log_a(a^3b^2)=3+2\log_a b=3+6=9$; $\log_b b^4=4$; $\log_c c^3=3$: $\dfrac{9\cdot4}{3}=12$.

(d) $\left(a^2\right)^{\log_a 2}=\left(a^{\log_a 2}\right)^2=2^2=4$; $c^{\log_c 3+1}=c^{\log_c 3}\cdot c=3c$. Risultato $4-3c$: dipende da $c$ (numerico solo se il termine è $c^{\log_c 3}=3$, nel qual caso vale $1$).

(e) $\log_a c=\tfrac13$, $\log_a b=\tfrac12$: $\log_a(c^2b^3)=\tfrac23+\tfrac32=\tfrac{13}{6}$; $\log_b(c/a)=\log_b c-2=\tfrac23-2=-\tfrac43$. Totale $\tfrac{13}{6}+\tfrac43=\tfrac{21}{6}=\tfrac72$.

$\boxed{\text{(a) }\tfrac32;\ \text{(b) } -\tfrac52;\ \text{(c) } 12;\ \text{(d) } 4-3c;\ \text{(e) } \tfrac72}$

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Cambiamento di base · Logaritmo · Proprieta dei logaritmi
Funzioni: Funzione logaritmica
Competenze: Calcolare · Usare formule
Tipo di esercizio: Calcolo espressioni