Proprietà dei logaritmi

Le proprietà dei logaritmi traducono le regole delle potenze in regole sui logaritmi: prodotti diventano somme, quozienti diventano differenze, potenze diventano prodotti. Sono lo strumento con cui si semplificano espressioni e si risolvono equazioni. La sezione le enuncia, ne dimostra una e mette in guardia dalle “non-proprietà” più diffuse.

• Le proprietà dei logaritmi
• Dimostrazione della proprietà del prodotto
• Le non-proprietà da evitare

The properties of logarithms translate the rules of powers into rules on logarithms: products become sums, quotients become differences, powers become products. They are the tool with which expressions are simplified and equations are solved. The section states them, proves one of them and warns against the most widespread “non-properties”.

• The properties of logarithms
• Proof of the product property
• The non-properties to avoid

Le proprietà seguenti discendono direttamente dalle proprietà delle potenze e sono la base di ogni manipolazione con i logaritmi.

Proprietà — Proprietà dei logaritmi

Per ogni $a > 0,\ a\ne 1$ e ogni $x, y > 0$:

\log_a(xy) &= \log_a x + \log_a y & &\text{(prodotto)} \\ \log_a\left(\tfrac{x}{y}\right) &= \log_a x - \log_a y & &\text{(quoziente)} \\ \log_a\left(x^k\right) &= k\cdot \log_a x & &\text{(potenza)} \\ \log_a 1 &= 0,\quad \log_a a = 1 & &\text{(valori notevoli)} \end{aligned}$$

In parole: il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi, il logaritmo di un quoziente è la differenza, e un esponente dentro l’argomento “scende” davanti al logaritmo come fattore.

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• Log Tables — Numberphile

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Logaritmo · Proprieta dei logaritmi
Funzioni: Funzione logaritmica
Competenze: Usare formule

The following properties descend directly from the properties of powers and are the basis of every manipulation with logarithms.

Property — Properties of logarithms

For every $a > 0,\ a\ne 1$ and every $x, y > 0$:

\log_a(xy) &= \log_a x + \log_a y & &\text{(product)} \\ \log_a\left(\tfrac{x}{y}\right) &= \log_a x - \log_a y & &\text{(quotient)} \\ \log_a\left(x^k\right) &= k\cdot \log_a x & &\text{(power)} \\ \log_a 1 &= 0,\quad \log_a a = 1 & &\text{(notable values)} \end{aligned}$$

In words: the logarithm of a product is the sum of the logarithms, the logarithm of a quotient is the difference, and an exponent inside the argument “comes down” in front of the logarithm as a factor.

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Topics: Logarithmic function
Concepts: Logarithm · Properties of logarithms
Functions: Logarithmic function
Skills: Using formulae

La proprietà del prodotto si dimostra tornando alla definizione di logaritmo come esponente.

Dimostrazione — Proprietà del prodotto

Siano $u = \log_a x$ e $v = \log_a y$. Allora $a^u = x$ e $a^v = y$. Dunque $xy = a^u\cdot a^v = a^{u+v},$ e per definizione di logaritmo $\log_a(xy) = u+v = \log_a x + \log_a y$. $\blacksquare$

Le proprietà del quoziente e della potenza si dimostrano in modo del tutto analogo, usando rispettivamente $a^{u-v}$ e $(a^u)^k = a^{ku}$.

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Logaritmo · Proprieta dei logaritmi
Funzioni: Funzione logaritmica
Competenze: Dimostrare

The product property is proved by going back to the definition of logarithm as an exponent.

Proof — Product property

Let $u = \log_a x$ and $v = \log_a y$. Then $a^u = x$ and $a^v = y$. Hence $xy = a^u\cdot a^v = a^{u+v},$ and by the definition of logarithm $\log_a(xy) = u+v = \log_a x + \log_a y$. $\blacksquare$

The quotient and power properties are proved in an entirely analogous way, using $a^{u-v}$ and $(a^u)^k = a^{ku}$ respectively.

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Topics: Logarithmic function
Concepts: Logarithm · Properties of logarithms
Functions: Logarithmic function
Skills: Proving

Le proprietà valgono solo per prodotti e quozienti: applicarle alle somme è l’errore più diffuso.

Attenzione — Non-proprietà frequenti

$\log(x+y) \ne \log x + \log y$. Il logaritmo non è additivo sulle somme: lo è solo sui prodotti. Questo errore è il più diffuso e va evitato a tutti i costi.

Analogamente $(\log x)^k \ne k\log x$ in generale: la proprietà della potenza riguarda il caso in cui l’esponente è dentro l’argomento, non fuori.

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Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Logaritmo · Proprieta dei logaritmi
Funzioni: Funzione logaritmica

The properties hold only for products and quotients: applying them to sums is the most widespread mistake.

Warning — Frequent non-properties

$\log(x+y) \ne \log x + \log y$. The logarithm is not additive over sums: it is only over products. This mistake is the most widespread and must be avoided at all costs.

Similarly $(\log x)^k \ne k\log x$ in general: the power property concerns the case in which the exponent is inside the argument, not outside.

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Topics: Logarithmic function
Concepts: Logarithm · Properties of logarithms
Functions: Logarithmic function