Crescita di una coltura batterica

Testo

Una coltura contiene inizialmente $500$ batteri e cresce secondo il modello $N(t)=N_0\,e^{kt}$, con $t$ in ore. Dopo $3$ ore i batteri sono $1800$.

• (a) Determina la costante $k$.
• (b) Quanti batteri ci sono dopo $7$ ore?
• (c) Dopo quanto tempo la coltura raggiunge $10\,000$ batteri?

Soluzione

(a) $1800=500\,e^{3k}\Rightarrow e^{3k}=3{,}6\Rightarrow k=\dfrac{\ln 3{,}6}{3}=\dfrac{1{,}28093}{3}\approx 0{,}4270\ \text{h}^{-1}$.

(b) $N(7)=500\,e^{0{,}4270\cdot 7}=500\,e^{2{,}98885}\approx 500\cdot 19{,}86\approx 9931$ cellule.

(c) $10\,000=500\,e^{kt}\Rightarrow e^{kt}=20\Rightarrow t=\dfrac{\ln 20}{k}=\dfrac{2{,}99573}{0{,}4270}\approx 7{,}02$ ore.

$\boxed{k\approx 0{,}427\ \text{h}^{-1};\quad N(7)\approx 9931;\quad t\approx 7{,}02\ \text{h}}$

Collegamenti

Argomenti: Funzione esponenziale
Concetti: Crescita esponenziale · Logaritmo
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Modellizzare · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione