Grafico di una funzione esponenziale traslata

Testo

Disegna la funzione $y=-1+2\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$, ricavando i valori per $x$ grande (positivo e negativo), per $x=0$ e il punto di intersezione con l’asse $x$.

Soluzione

• Asintoto orizzontale: per $x\to+\infty$ si ha $\left(\tfrac13\right)^x\to 0$, quindi $y\to -1$. La retta $y=-1$ è asintoto.
• Per $x\to-\infty$: $\left(\tfrac13\right)^x\to+\infty$, quindi $y\to+\infty$.
• Intersezione con l’asse $y$: $x=0\Rightarrow y=-1+2=1$, punto $(0;1)$.
• Intersezione con l’asse $x$: $-1+2\left(\tfrac13\right)^x=0\Rightarrow\left(\tfrac13\right)^x=\tfrac12\Rightarrow x=\log_{1/3}\tfrac12\approx 0{,}63$.
• La funzione è decrescente (base $<1$, coefficiente positivo) e sta sopra l’asintoto $y=-1$.

$\boxed{\text{asintoto }y=-1;\ (0;1);\ x_0=\log_{1/3}\tfrac12\approx 0{,}63;\ \text{decrescente}}$

Collegamenti

Argomenti: Funzione esponenziale
Concetti: Asintoto · Asintoto orizzontale · Grafico esponenziale
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Studiare funzione · Usare formule
Tipo di esercizio: Studio di funzione