Popolazione di topi con dimezzamento

Testo

A causa dell’arrivo di quattro gatti, il numero di topi di una fattoria (pari a $200$ al giorno $x=0$) si dimezza ogni due giorni. a) Determina la funzione $y=a\cdot b^{x}$ che descrive il numero di topi in funzione del tempo $x$ (in giorni) e descrivine le proprietà (iniettività, monotonia, concavità). b) Determina dopo quanti giorni la popolazione sarà ridotta a meno di un topo.

Soluzione

a) Al giorno $x=0$ i topi sono $200$, dunque $a=200$. Poiché ogni $2$ giorni la popolazione si dimezza, deve valere $b^{2}=\tfrac12$, da cui $b=\left(\tfrac12\right)^{1/2}=\dfrac{1}{\sqrt2}\approx 0{,}7071$. Quindi $y=200\left(\tfrac12\right)^{x/2}=200\cdot 2^{-x/2}.$ Essendo $0<b<1$ la funzione è decrescente, quindi iniettiva; ha codominio $(0,+\infty)$ (non è suriettiva su $\mathbb{R}$) ed è convessa. b) Imponiamo $200\cdot 2^{-x/2}<1$: $2^{-x/2}<\frac{1}{200}\ \Rightarrow\ -\frac{x}{2}<\log_2\frac{1}{200}\ \Rightarrow\ x>2\log_2 200=\frac{2\ln 200}{\ln 2}\approx 15{,}29.$ La popolazione scende sotto l’unità a partire dal $16^\circ$ giorno. $\boxed{\,y=200\cdot 2^{-x/2}\,;\qquad x>2\log_2 200\approx 15{,}29\ \text{giorni}\,}$

Collegamenti

Argomenti: Funzione esponenziale
Concetti: Funzione esponenziale · Logaritmo · Tempo di dimezzamento
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Modellizzare · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione