Investimento in azioni ad interesse composto

Testo

Un imprenditore investe il suo patrimonio di $87$ milioni di euro nelle azioni della BorghiMotors, che aumentano di valore del $4\%$ ogni anno.

• (a) Dopo quanti anni l’imprenditore ha raddoppiato il suo patrimonio?
• (b) Quanti soldi saranno sul conto dell’imprenditore dopo $30$ anni?
• (c) Un amico ha investito $12$ milioni nelle azioni della FantiEnterprises, e dopo tre anni ha trovato $17$ milioni sul conto. Qual è il tasso di crescita annuo di queste azioni?
• (d) Un altro amico adesso ha $400$ milioni di euro; cinque anni fa aveva investito una certa somma in titoli che rendono il $12\%$ annuo. Quanti soldi aveva investito cinque anni fa?

Soluzione

Il modello è $C(t)=C_0\,(1+i)^{t}$.

(a) $1{,}04^{\,n}=2 \Rightarrow n=\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}04}\approx 17{,}67$ anni (raddoppio nel corso del $18^\circ$ anno).

(b) $C_{30}=87\cdot 1{,}04^{30}=87\cdot 3{,}2434\approx 282{,}18$ milioni di euro.

(c) $(1+r)^3=\dfrac{17}{12}=1{,}41\overline{6} \Rightarrow 1+r=1{,}41\overline{6}^{\,1/3}\approx 1{,}1231$, quindi $r\approx 12{,}31\%$.

(d) $P\cdot 1{,}12^{5}=400 \Rightarrow P=\dfrac{400}{1{,}76234}\approx 226{,}97$ milioni di euro.

$\boxed{n\approx 17{,}67\ \text{anni};\quad C_{30}\approx 282{,}2\ \text{mln};\quad r\approx 12{,}31\%;\quad P\approx 226{,}97\ \text{mln}}$

Collegamenti

Argomenti: Funzione esponenziale
Concetti: Crescita esponenziale · Interesse composto · Logaritmo
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Modellizzare · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione